Warum ist Mach 0.3 die Schwelle zwischen kompressiblem und inkompressiblem Durchfluss?

Ich habe gelesen, dass Mach 0.3 so ziemlich die Obergrenze für die Behandlung von Luft als inkompressible Flüssigkeit ist. Die Quellen, die ich gelesen habe, scheinen dies als gegeben zu behandeln, ohne Beweise oder Begründung.

Warum ist das die Grenze? Gibt es dafür eine mathematische Begründung? Gilt diese Grenze auch nur für Luft? Wenn nicht, wovon hängt dann die Grenze ab?

fluid-mechanics

— Paul
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Wikipedia gibt den Grund für Mach 0.3 an, da hierdurch eine Dichteänderung von ~ 5% erreicht wird.

Ich habe eine NASA-Seite gefunden , die (analytisch!) Die Beziehung beschreibt. Ich habe die Quelle zitiert, aber ich werde die Arbeit hier für die Nachwelt reproduzieren, falls sich ihre Links ändern.

Beginnen Sie mit der Impulserhaltung:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

Dabei ist $\rho$ die Fluiddichte, $V$ die Geschwindigkeit und $p$ der Druck. für isentropische Strömung:

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

wobei $\gamma$ das spezifische Wärmeverhältnis ist. Das ideale Gasgesetz lautet:

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

Dabei ist $R$ die spezifische Gaskonstante und $T$ die absolute Temperatur. Also, ersetzen:

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

Die Schallgeschwindigkeit kann berechnet werden durch:

γ R T = {ein}^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

wo $a$ die Schallgeschwindigkeit ist, also:

d p = {ein}^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Das Einsetzen des obigen Ausdrucks in die Impulserhaltungsgleichung ergibt:

(ρ V) d V = - {ein}^{2} d ρ - (\frac{V^{2}}{{ein}^{2}}) d V / V = d ρ / ρ - M^{2} d V / V = d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

wobei $M$ die Machzahl ist. Dies ergibt eine Machzahl von 0,3, was einer Dichteänderung von ungefähr 5% entspricht.

Als Hinweis basiert dies auf der Mach-Zahl, die wiederum von der Schallgeschwindigkeit im Gas abhängt, sodass sie automatisch pro Gas angepasst wird.

— Futter
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@Paul das ergibt sich aus der Erhaltung des Impulses. es ist weniger eine "Regel" als ein Vorschlag. Wenn Ihnen Änderungen der Dichte (oder anderer Größen) von 10% (oder mehr) egal sind, verwenden Sie die inkompressiblen Beziehungen für hohe Mach-Zahlen. wenn Sie tun kümmern uns um kleine Änderungen in der Dichte, verwenden Sie dann die komprimierbaren Beziehungen auch bei niedrigen Machzahlen

— costrom

Es ist nicht nur Dichte. Wenn wir Gleichungen nicht dimensionieren, erhalten wir dimensionslose Gruppen. Die Faustregel lautet: Wenn eine dimensionslose Gruppe kleiner als 0,1 ist, können wir die relevanten Begriffe ignorieren. Bei der Machzahl wird sie im Quadrat angezeigt. Wir wollen also die (Machzahl) ^ 2 <0.1. Dies ergibt ungefähr 0,3. Es ist nicht nur die Dichte - grundsätzlich werden alle Dinge, die sich mit höherer Geschwindigkeit ändern, um ungefähr 10% beeinflusst, sobald die Machzahl 0,3 erreicht.

— Joel

@Joel - Für den Kontext hat OP speziell nach der Kompressibilität gefragt, weshalb diese Antwort nur die Dichte abdeckt.

— Chuck

Ich würde es klarer machen, dass es keine scharfe Trennlinie ist. Wenn Sie eine geringere Fehlertoleranz haben, beginnen Sie mit der Verwendung der komprimierbaren Lösung bei niedrigeren Machzahlen. Wenn Sie sich nicht so sehr darum kümmern, gehen Sie bei höheren Machzahlen von Inkomprimierbarkeit aus. 10% ist nur eine willkürliche Auswahl dessen, wie viel Fehler "wirklich wichtig" ist, und 0,3 fällt mathematisch, aber nicht weniger willkürlich davon ab.

— Hobbs

@chuck - Wenn ich hier nicht wähle, aber wenn ich etwas als inkompressible Flüssigkeit betrachte, kann ich sagen, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes 0 ist. Das betrifft viel mehr als nur die Dichte - bis zu dem Punkt, an dem ich zu einem Gespräch gehe und jemand etwas sagt Er geht davon aus, dass es sich um eine inkompressible Flüssigkeit handelt. Normalerweise handelt es sich nicht um eine Aussage über die Dichte.

— Joel