Ableitung der schwachen Form für die Euler-Bernoulli-Strahl-Ewuationen

Ich bin Meisterschüler und mache eine Aufgabe der Finite-Elemente-Methode. In der Anweisung konnte ich die Ableitung der schwachen Form nicht verstehen, was nicht schwierig sein sollte. Es tut mir leid, dass ich diese einfache und höchstwahrscheinlich nicht hilfreiche Frage für andere Personen gestellt habe.

Die Ableitung handelt also von der schwachen Form der Integralformulierung der 4. ODE. Es ist eine einfache Strahlverformung im Intervall 0 und L.

\int_{0}^{L.} \frac{d^{2} w}{d x^{2}} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} d x = . . .

$\int_0^L\frac{d^2 w}{d x^2}EI\frac{d^2 \hat{u}}{d x^2}dx = ...$

({w E. ich \frac{d^{3} \hat{u}}{d x^{3}} |}_{x = 0} - - ({\frac{d w}{d x} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} |}_{x = 0} - - ({w E. ich \frac{d^{3} \hat{u}}{d x^{3}} |}_{x = L.} + ({\frac{d w}{d x} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} |}_{x = L.}

$\left( \left. w EI \frac{d^3 \hat{u}}{d x^3} \right|_{x=0} \right. -\left( \left. \frac{d w}{dx} EI \frac{d^2 \hat{u}}{d x^2} \right|_{x=0} \right. -\left( \left. w EI \frac{d^3 \hat{u}}{d x^3} \right|_{x=L} \right. +\left( \left. \frac{d w}{dx} EI \frac{d^2 \hat{u}}{d x^2} \right|_{x=L} \right.$

Ich dachte über eine teilweise Integration nach dann endete ich mit wenn ich die teilweise Integration bis zum 2. fortsetze Begriff dann Ableitung wird 4. Ordnung sein ...

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - - \int v (x) u^{'} (x) d x

$\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) \, u'(x) dx$

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} \frac{d w}{d x} - - \int \frac{d w}{d x} \frac{d^{3} x}{d x^{3}} d x

$\frac{d^2u}{dx^2}\frac{dw}{dx} - \int \frac{dw}{dx}\frac{d^3x}{dx^3}d x$

Wie kann ich folgendes bekommen?

({w E. ich \frac{d^{3} \hat{u}}{d x^{3}} |}_{x = 0} - - ({\frac{d w}{d x} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} |}_{x = 0} - - ({w E. ich \frac{d^{3} \hat{u}}{d x^{3}} |}_{x = L.} + ({\frac{d w}{d x} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} |}_{x = L.}

finite-element-method

— user26767
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Ihre Integration ist korrekt. Beachten Sie, dass w eine Testfunktion ist, die an der Grenze der Domäne Null ist. Somit sind die mit w multiplizierten Terme immer noch identisch Null.

— Paul

Der Ausdruck liegt bereits in der schwachen Form vor. Warum integrieren Sie diese Gleichung wieder? Versuchen Sie, die starke Form der PDE zu erlangen? Bitte erkläre.

\int_{0}^{L} \frac{d^{2} w}{d x^{2}} E I \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} d x = . . .

$\int_0^L\frac{d^2 w}{d x^2}EI\frac{d^2 \hat{u}}{d x^2}dx = ...$

— Paul

Meine Frage ist, wie Sie die rechte Seite von der linken Seite in der Gleichung ableiten können:

\int_{0}^{L.} \frac{d^{2} w}{d x^{2}} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} d x = ({w E. ich \frac{d^{3} \hat{u}}{d x^{3}} |}_{x = 0} - - ({\frac{d w}{d x} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} |}_{x = 0} - - ({w E. ich \frac{d^{3} \hat{u}}{d x^{3}} |}_{x = L.} + ({\frac{d w}{d x} E. ich \frac{d^{2} \hat{u}}{d x^{2}} |}_{x = L.}

$\int_0^L\frac{d^2 w}{d x^2}EI\frac{d^2 \hat{u}}{d x^2}dx = \left( \left. w EI \frac{d^3 \hat{u}}{d x^3} \right|_{x=0} \right. -\left( \left. \frac{d w}{dx} EI \frac{d^2 \hat{u}}{d x^2} \right|_{x=0} \right. -\left( \left. w EI \frac{d^3 \hat{u}}{d x^3} \right|_{x=L} \right. +\left( \left. \frac{d w}{dx} EI \frac{d^2 \hat{u}}{d x^2} \right|_{x=L} \right.$

— user26767

Es ist einfacher, diese Identität zu verstehen, wenn Sie mit der partiellen Differentialgleichung für die Euler-Bernoulli-Strahlablenkungsgleichung beginnen

\frac{d^{2}}{d x^{2}} [E. ich \frac{d^{2} u}{d x^{2}}]] = 0

$\frac{d^2}{dx^2}\left[ EI \frac{d^2u}{dx^2}\right] = 0$

und arbeite dich bis zur schwachen Form vor.

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer beliebigen Testfunktion . Wenden Sie dann die Integration nach Teilen (nur einmal) über die Domäne [0, L] an. Sie erhalten: $w$

w \frac{d}{d x} [E. ich \frac{d^{2} u}{d x^{2}}]] |_{0}^{L.} - - \int_{0}^{L.} [E. ich \frac{d^{2} u}{d x^{2}}]] \frac{d w}{d x} = 0.

$w\frac{d}{dx}\left[ EI \frac{d^2u}{dx^2}\right]\bigg|_0^L - \int_0^L \left[ EI \frac{d^2u}{dx^2}\right] \frac{dw}{dx}= 0.$

Wenden Sie dann die Integration nach Teilen erneut an. Wir erhalten:

w \frac{d}{d x} [E. ich \frac{d^{2} u}{d x^{2}}]] |_{0}^{L.} - - \frac{d w}{d x} E. ich \frac{d^{2} u}{d x^{2}} |_{0}^{L.} + \int_{0}^{L.} \frac{d^{2} w}{d x^{2}} E. ich \frac{d^{2} u}{d x^{2}} = 0

$w\frac{d}{dx}\left[ EI \frac{d^2u}{dx^2}\right]\bigg|_0^L - \frac{dw}{dx}EI \frac{d^2u}{dx^2}\bigg|_0^L + \int_0^L \frac{d^2w}{dx^2}EI \frac{d^2u}{dx^2}=0$

Wenn Sie die bei 0 und L ausgewerteten Terme auf der rechten Seite neu anordnen, erhalten Sie die von Ihnen angegebene Gleichung.

— Paul
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