Warum können wir den Trägheitsbegriff (aber nicht den viskosen) in Navier-Stokes bei geringem Durchfluss und hoher Viskosität vernachlässigen?

Warum können wir den Trägheitsbegriff (aber nicht den viskosen) in Navier-Stokes bei geringem Durchfluss und hoher Viskosität vernachlässigen?

Schließe Navier-Stokes ab:$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Trägheitsbegriff: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

Und da wir einen stationären Fluss und eine niedrige Rate annehmen: . Daraus folgt, dass der Trägheitsterm ignoriert werden kann.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

In meinem Material wird jedoch auch angegeben, dass unter diesen Umständen der dominierende Begriff sein wird. Warum wird es nicht so sein, dass ?$\mu \nabla ^2 \vec{v}$$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Normalerweise impliziert ein niedriger Durchfluss und eine hohe Viskosität, dass es sich um einen sogenannten Durchfluss mit niedriger Reynoldszahl handelt. Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Zahl, die das Verhältnis von Trägheitskräften ( ) und viskoser Kraft ( ) ist: Bei niedrigen dominieren viskose Kräfte (laminares Regime) und bei hohen Trägheitskräften dominieren (turbulentes Regime). Dimensionslose Zahlen wie$\rho U U$$\mu U/L$

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$$ $\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$Zeigen Sie sich auf natürliche Weise durch einen Prozess, der als "Skalierung" bekannt ist und bei dem die Gleichungen nicht dimensional gemacht werden. Durch diesen Prozess kann dann anhand der Werte relevanter dimensionsloser Zahlen gesagt werden, welche Begriffe vernachlässigbar sind. Weitere Informationen finden Sie in meiner Antwort auf diese Frage.

Technisch gesehen ist, sagen : ‚Low - Flow und eine hohe Viskosität‘ nicht ausreichen , um zu sagen wir mit einem niedrigen handelt fließen , weil es hängt auch von der Längenskala (in der Regel einem Rohrdurchmesser, etc.) und die Dichte ( von Luft oder Wasser), aber es wird normalerweise impliziert, dass dies der Fall ist.$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Sagen wir nun für eine niedrige Durchflussrate, dass falsch ist; Was Sie wahrscheinlich meinen, ist, dass . Dies rechtfertigt die Vereinfachung der Gleichungen, indem gesagt wird, dass was physikalisch bedeutet, dass Trägheitsterme im Vergleich zu viskosen Termen völlig vernachlässigbar sind. bedeutet nicht sondern die niedrige Durchflussrate impliziert während signifikant sein kann. Betrachten Sie die Größenordnungsschätzung von$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$;; für kleine Werte von (trägt zu niedrigem ) kann es viel größer als die Ordnung . Eine ähnliche Größenordnungsanalyse der viskosen Terme zeigt, dass diese noch bedeutender sein werden. Daher ist der Grund, warum die Trägheitsterme vernachlässigbar sind, die viskosen Terme jedoch nicht.$L$$\mathrm{Re}$∂ 2 β u α ∼ U / L $O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$

Da der letzte Term proportional zu und nicht zukann der Term groß sein, selbst wenn die Geschwindigkeitsgröße klein ist. Betrachten Sie den einfachen Fall einer rutschfesten laminaren Strömung in einem x-orientierten Rohr. Dies ist ein unidirektionaler Fluss, sodass wir und verwerfen und uns auf . Wir gehen davon aus, dass die Strömungsgeschwindigkeit gering ist. | → v | v w $\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

Nur weil im Allgemeinen klein ist, heißt das nicht, dass wir daraus schließen können, dass auch im Allgemeinen klein ist. Je schmaler das Rohr ist, größer ist die Größe von . Wenn wir das Gradientenfeld der Horizontalgeschwindigkeit betrachten, sehen wir, dass es dazu neigt, nach innen in Richtung der Rohrmitte zu zeigen, wo die Geschwindigkeit maximal ist. Dies bedeutet, dass wir eine negative Divergenz haben, bei der die Größe von der Schärfe der Änderung der Geschwindigkeit und nicht von ihrer Gesamtgröße abhängt.∇ u ∇ $u$$\nabla u$$\nabla u$

Daher ist nicht unbedeutend, was natürlich nur Navier Stokes ist, der die Tendenz viskoser Kräfte, einen Druckabfall zu verursachen, genau vorhersagt im stationären Zustand horizontaler Rohrfluss (oder Sie könnten es die Notwendigkeit eines Druckabfalls nennen, um den Fluss gegen viskose Kräfte zu erzwingen, wie Sie möchten). Heben Sie die gravitativen und zeitlich variierenden Begriffe auf und überzeugen Sie sich selbst.$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$