Negatives Feedback Gewinn und Phase Margin

Betrachten Sie das System mit einheitlicher negativer Rückkopplung, so dass die Übertragungsfunktion offen ist $$ G (s) = \ frac {as + 1} {s ^ 2} $$

a) Bestimmen Sie den Wert von $ a $ so, dass die Phasenreserve 45 ° beträgt

b) Bestimmen Sie den stationären Fehler für den einheitlichen Rampeneingang

c) Für $ a & gt; 0 $, wie hoch ist die Gewinnspanne

Mein Versuch: Ich bezweifle den Punkt (c). Was ich gemacht habe:

$ GM = \ frac {1} {| G (j \ omega) |} $ für $ \ omega $, so dass $ \ text {phase} (G (j \ omega)) = -180º $ ist. In diesem Fall $$ \ text {phase} (G (j \ omega)) = -180º \ iff \ text {arctan} (a \ omega) - 180º = -180º \ iff \ text {arctan} (a \ omega) = 0 \ iff \ omega = 0 $$

Aber für $ \ omega \ bis 0 $, $ | G (j \ omega) | \ bis \ infty \ Rightarrow GM \ rightarrow 0 $

Ist das korrekt?

Vielen Dank!

ein)

Die beiden Pole am Ursprung tragen zu einer Phase von -180 $ {} ^ {\ circ} $ bei.

Die Nullstelle bei $ - \ frac {1} {a} $ trägt eine Phase zwischen 0 und 90 $ {} ^ {\ circ} $ bei, wobei die Phase 45 $ {} ^ {\ circ} $ bei der Eckfrequenz $ liegt \ frac {1} {a} $.

Bei der Eckfrequenz ist die Phase also -135 $ {} ^ {\ circ} $. Die Phasenreserve kann 45 $ {} ^ {\ circ} $ betragen, wenn bei dieser Frequenz der Betrag 1 ist.

$$ \ left | \ frac {\ frac {i a} {a} +1} {\ left (\ frac {i} {a} \ right) ^ 2} \ right | = 1 $$

$$ \ sqrt {2} a ^ 2 = 1 $$

$$ a = \ frac {1} {\ sqrt [4] {2}} $$

b)

Der Steady-State-Fehler für einen Rampeneingang ist Null, da es sich um ein System vom Typ 2 handelt.

c)

Die Gewinnspanne ist unendlich. Dies liegt daran, dass der Plot der Bode-Phase für $ a & gt; 0 $ immer über -180 $ {} ^ {\ circ} $ liegt.