Knicken: Treten in der Realität Knickmodusformen von n> 1 auf?

Beim Knicken von Säulen wissen wir, dass:

P = \frac{n^{2} π^{2} E I}{L^{2}}

$P = \dfrac{n^2\pi^2EI}{L^2}$

Der kleinste Wert von P tritt auf, wenn , was eine einfache Knickform ergibt (eine Welle): $n=1$

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}}

$P_{cr} = \dfrac{\pi^2EI}{L^2}$

Wie unten gezeigt, ist die Knickform jedoch für $n > 1$ komplexer und weist viele Wellen auf:

Meine Frage ist, ob die Knickmodusformen für $n > 1$ jemals in der Realität auftreten. Wenn die Säule gemäß der Form für zu knicken beginnt, $n = 1$ würde sie dann nicht einfach so weiter knicken, bis sie versagt? Wie würden die anderen Knickmodi jemals auftreten?

— pauloz1890
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Antworten:

Ob Knickmodi mit existieren oder nicht , hängt davon ab, wie Sie die Struktur betrachten. $n>1$

Wie @hazzey in seiner Antwort feststellt, können Spalten mit Klammern Knickmodi mit anzeigen . Diese Knickmodi entsprechen jedoch einfach den Modi der einzelnen Segmente, aus denen die Spalte besteht. Um klar zu sein, bedeutet dies nicht, dass sich die Segmente unabhängig voneinander verhalten (Sie werden niemals zwei aufeinanderfolgende ungerahmte Längen haben, die sich auf derselben Seite knicken), sondern nur, dass jeder Modus aus einer Reihe kontinuierlicher Modi bestehen kann für die ungerahmten Längen. $n>1$ $n=1$ $n>1$ $n=1$

Wenn Sie also eine Säule mit einer einzelnen Aussteifung haben, die knickt, denken Sie dann, dass für jede der Längen ein Modus für die gesamte Säule oder ein Modus gilt? Beide? Ihr Anruf. $n>1$ $n=1$

Um den Kommentar von @ starrise zu @ hazzeys Antwort zu paraphrasieren, kann dies anhand der Knickgleichung demonstriert werden:

\begin{aligned} P & = {(\frac{n}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{c o l u m n, n = 2} & = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{s e g m e n t, n = 1} & = {(\frac{1}{\frac{L}{2}})}^{2} π^{2} E I = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ ∴ P_{c o l u m n, n = 2} & = P_{s e g m e n t, n = 1} \end{aligned}

$\begin{align} P &= \left(\dfrac{n}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{column,\,n=2} &= \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{segment,\,n=1} &= \left(\dfrac{1}{\frac{L}{2}}\right)^2\pi^2EI = \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ \therefore P_{column,\,n=2} &= P_{segment,\,n=1} \end{align}$

— Wasabi
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Wenn Sie die Säule als an den Enden abgestützt betrachten, haben Sie Recht, dass der Modus n = 1 die niedrigste Knicklast ergibt.

Die anderen Modi (n = 2,3, ...) sind jedoch nicht nutzlos. Lange Säulen werden häufig in regelmäßigen Abständen verspannt, um die Länge der Säule ohne Klammer zu verringern. Für eine gegebene Länge der Säule zwingen diese Streben die Säule, in einem anderen Modus (n = 2,3, ...) mit der entsprechenden Zunahme der Knicklast zu knicken.

— Hazzey
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Ich wusste nicht, dass sich die Modusformen auf die Verspannung der Spalten beziehen, aber das macht jetzt wirklich Sinn, wenn ich darüber nachdenke.

— Pauloz1890

Aber wäre die Last für den globalen Modus der Spalte nicht gleich dem Modus eines ihrer nicht umrahmten Segmente? Dies bedeutet, dass es davon abhängt, wie Sie die Struktur betrachten , ob Modi existieren. Wenn Sie es aus einer globalen Perspektive betrachten, sind ja, Modi möglich. Wenn Sie sich jedoch die lokalen Segmente ansehen, aus denen die Struktur besteht, existieren nur Modi. @ Pauloz1890

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

— Wasabi

@Wasabi Ja, ich denke, das hat mich verwirrt, du hast Recht.

— Pauloz1890

Wie @Wasabi bemerkte, existieren nur Modi, wenn man die Verspannung in Betracht zieht. Beachten Sie, dass im Fall . Dann ist was mit dem Fall identisch ist, jedoch für eine kürzere Spalte. Gleiches gilt natürlich für jedes . Dies sollte alles sinnvoll sein, da oben und unten in der ursprünglichen globalen Spalte (zumindest bei diesen Randbedingungen) gesagt werden kann, dass sie im gleichen Sinne verspannt sind.

n = 1

$n=1$

n = 2

$n=2$

L_{s e g m e n t} = L_{g l o b a l} / 2

$L_{segment}=L_{global}/2$

P = 4 π^{2} E I / (4 L_{s e g m e n t}^{2}) = π^{2} E I / L_{s e g m e n t}^{2}

$P=4\pi^2 EI/(4L_{segment}^2)=\pi^2 EI/L_{segment}^2$

n = 1

$n=1$

n

$n$

— wwarriner

@ SamWatkins, in der Tat sind die Fälle nicht unabhängig. Sie konnten es nicht sein, da es sich um eine einzelne monolithische Säule mit Verstrebung handelt. Wenn beide Abschnitte zur gleichen Seite knicken würden, würde es eine Diskontinuität im Verformungswinkel der Säule geben, was unmöglich ist. Die Aussage, dass Modi eigentlich nur eine Reihe von Modus 1 sind, soll nicht bedeuten, dass jeder der Modus 1 unabhängig ist, sondern dass ein Modus in der realen Welt nur dann auftritt, wenn er von a zusammengesetzt werden kann Reihe von kontinuierlichen Modus 1.

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

— Wasabi