Wie wird die charakteristische Länge in reynolds Zahlenberechnungen im Allgemeinen bestimmt?

Ich verstehe, dass die Reynolds-Zahl durch den Ausdruck , wobei die Dichte, die Flüssigkeitsgeschwindigkeit und die dynamische Viskosität ist. Für jedes gegebene Fluiddynamikproblem sind , und trivial angegeben. Aber was genau ist die charakteristische Länge ? Wie genau berechne ich das? Was kann ich aus einem bestimmten Problem verwenden, um die charakteristische Länge automatisch zu bestimmen? ρvμρvμ$Re=\frac{\rho v L}{\mu}$$\rho$$v$$\mu$$\rho$$v$$\mu$$L$

Ich möchte diese Frage aus einer mathematischen Perspektive betrachten, die fruchtbar sein kann, wie in einigen Kommentaren und Antworten erörtert. Die gegebenen Antworten sind nützlich, aber ich möchte hinzufügen:

1. Im Allgemeinen ist die kleinste verfügbare Längenskala die charakteristische Längenskala.
2. Manchmal (z. B. in dynamischen Systemen) gibt es keine feste Längenskala als charakteristische Längenskala. In solchen Fällen kann häufig eine dynamische Längenskala gefunden werden.

Charakteristische Längenskalen:

TL; DWTR: füristdie charakteristische Längenskala; füristdie charakteristische Längenskala. Dies impliziert, dass die kleinere Längenskala (normalerweise) die charakteristische Längenskala ist.R R / L ≤ 1 $R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Betrachten Sie den Fall der Rohrströmung, der in den anderen Antworten erörtert wurde. es gibt den Radius aber auch die Länge des Rohres. Normalerweise nehmen wir den Rohrdurchmesser als charakteristische Längenskala, aber ist dies immer der Fall? Betrachten wir dies aus einer mathematischen Perspektive. Definieren wir die dimensionslosen Koordinaten: L ˉ x = $R$$L$

$$\bar{x}=\frac{x}{L} \quad \bar{y}=\frac{y}{R} \quad \bar{u}=\frac{u}{U} \quad \bar{v}=\frac{v}{V} \quad \bar{p}=\frac{p}{\rho U^2}$$

Hier, , , , sind - - Koordinate und Geschwindigkeitsskalen aber nicht notwendigerweise ihre charakteristischen Skalen. Beachten Sie, dass die Wahl der nur für . Der Fall erfordert eine Neuskalierung.R U V x y P = ρ U 2 R e ≫ 1 R e ≪ $L$$R$$U$$V$$x$$y$$P=\rho U^2$$\mathrm{Re}\gg1$$\mathrm{Re}\ll1$

Umwandlung der Kontinuitätsgleichung in dimensionslose Größen:

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0 \rightarrow \partial_{\bar{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\bar{v}=0$$

kann nur der Fall sein, wenn wir oder . In diesem Wissen kann die Reynolds-Zahl neu definiert werden:$\frac{U}{V}\frac{R}{L}\sim1$$\frac{V}{U}\sim\frac{R}{L}$

$$\mathrm{Re}=\frac{UR}{\nu}=\frac{U}{V}\frac{R}{L}\frac{VL}{\nu}=\frac{VL}{\nu}=\hat{\mathrm{Re}}$$

In ähnlicher Weise transformieren wir die Navier-Stokes-Gleichungen ( Komponente nur, um sie kurz zu halten): Wir sehen hier die Reynolds-Zahl, die natürlich als Teil der vorkommt Skalierungsprozess. Abhängig vom geometrischen Verhältnis müssen die Gleichungen jedoch möglicherweise neu skaliert werden. Betrachten Sie die beiden Fälle:$x$

$$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{\nabla u}=-\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p+\nu\triangle\boldsymbol{u}$$ $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}+\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}\right]$$ $R/L$

• Der ist viel kleiner als die Rohrlänge (dh ):$R/L\ll1$

  Die transformierte Gleichung lautet dann: Hier haben wir ein Problem, weil der Term sehr groß sein kann und eine richtig skalierte Gleichung nur Koeffizienten oder kleiner hat. Wir benötigen also eine Neuskalierung der -Koordinate, der -Geschwindigkeit und des -Drucks:

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{L}{R}$$O(1)$$\bar{x}$$\bar{v}$$\bar{p}$ $$\hat{x}=\bar{x}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}\quad\hat{v}=\bar{v}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ Diese Auswahl neu skalierter Größen stellt sicher, dass die Kontinuitätsgleichung die Form hat: Die Navier-Stokes Gleichungen in Bezug auf die neu skalierten Mengen ergeben: der richtig skaliert wird Koeffizienten von oder kleiner, wenn wir die Werte annehmen . Dies zeigt an, dass die Druckskala nicht neu skaliert werden musste, aber die Längen- und Geschwindigkeitsskalen neu definiert wurden: $$\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\partial_{\bar{y}}\hat{v}=0$$ $$\bar{u}\partial_{\hat{x}}\bar{u}+\hat{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\hat{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\partial_{\bar{y}}^{2}\bar{u}$$ $O(1)$$\alpha=-1,\,\beta=0$ $$\hat{x}=\bar{x}\frac{L}{R}=\frac{x}{R}\quad\hat{v}=\bar{v}\frac{R}{L}=\bar{v}\frac{V}{U}=\frac{v}{U}\quad\hat{p}=\bar{p}=\frac{p}{\rho U^{2}}$$ und wir sehen , daß die charakteristische Länge und Geschwindigkeitsskala , um jeweils und nicht und wie am Anfang , sondern angenommen und .$x$$v$$L$$V$$R$$U$

• Der ist viel größer als die Rohrlänge (dh )$R/L\gg1$ :

  Die transformierte Gleichung lautet dann: Ebenso wie im vorherigen Fall kann sehr groß sein und erfordert eine Neuskalierung. Außer diesmal benötigen wir eine Neuskalierung der -Koordinate, Geschwindigkeit und Druck: Diese Auswahl neu skalierter Größen stellt erneut sicher, dass die Kontinuitätsgleichung die Form hat:

  $$\bar{u}\partial_{\bar{x}}\bar{u}+\bar{v}\partial_{\bar{y}}\bar{u}=-\partial_{\bar{x}}\bar{p}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}\partial_{\bar{x}}^{2}\bar{u}$$ $\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{R}{L}$$\bar{y}$$\bar{u}$$\bar{p}$ $$\hat{y}=\bar{y}\left(\frac{R}{L}\right)^{\alpha}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\left(\frac{R}{L}\right)^{-\alpha}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{R}{L}\right)^{\beta}$$ $$\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\partial_{\hat{y}}\bar{v}=0$$ Die Navier-Stokes-Gleichungen in Bezug auf die neu skalierten Mengen ergeben: die mit Koeffizienten von oder richtig skaliert ist kleiner, wenn wir die Werte annehmen . Dies zeigt an, dass Länge, Geschwindigkeiten und Druckskalen neu definiert wurden: $$\hat{u}\partial_{\bar{x}}\hat{u}+\bar{v}\partial_{\hat{y}}\hat{u}=-\partial_{\bar{x}}\hat{p}+\frac{1}{\mathrm{\hat{\mathrm{Re}}}}\partial_{\bar{x}}^{2}\hat{u}$$ $O(1)$$\alpha=1\,\beta=-2$ $$\hat{y}=\bar{y}\frac{R}{L}=\frac{y}{L}\quad\hat{u}=\bar{u}\frac{L}{R}=\bar{u}\frac{U}{V}=\frac{u}{V}\quad\hat{p}=\bar{p}\left(\frac{L}{R}\right)^{2}=\bar{p}\left(\frac{U}{V}\right)^{2}=\frac{p}{\rho V^{2}}$$ und wir sehen, dass die charakteristische Länge, Geschwindigkeit und Druckskala für , und nicht , , wie zu Beginn angenommen, sondern , und .$x$$v$$p$$R$$U$$\rho U^{2}$$L$$V$$\rho V^{2}$

Falls Sie den Sinn dieses vergessen haben: Für ist die charakteristische Längenskala; für ist die charakteristische Längenskala. Dies impliziert, dass die kleinere Längenskala (normalerweise) die charakteristische Längenskala ist.$R/L\ll1$$R$$R/L\gg1$$L$

Dynamische Längenskalen:

Betrachten Sie die Diffusion einer Art in eine semi-infinite Domäne. Da es in einer Richtung unendlich ist, hat es keine feste Längenskala. Stattdessen wird eine Längenskala erstellt, indem die Grenzschicht langsam in die Domäne eindringt. Diese "Penetrationslänge", wie die charakteristische Längenskala manchmal genannt wird, wird angegeben als:

$$\delta\left(t\right) = \sqrt{\pi D t}$$

Dabei ist der Diffusionskoeffizient und die Zeit. Wie zu sehen ist, ist keine Längenskala beteiligt, da sie vollständig durch die Diffusionsdynamik des Systems bestimmt wird. Ein Beispiel für ein solches System finden Sie in meiner Antwort auf diese Frage.$D$$t$$L$

Dies ist eine praktische, empirische Frage, keine theoretische, die durch Mathematik "gelöst" werden kann. Eine Möglichkeit, dies zu beantworten, besteht darin, von der physikalischen Bedeutung der Reynolds-Zahl auszugehen: Sie repräsentiert das Verhältnis zwischen "typischen" Trägheitskräften und viskosen Kräften im Strömungsfeld.

Sie betrachten also ein typisches Strömungsmuster und wählen die beste Längenmessung, um dieses Kräfteverhältnis darzustellen.

Beispielsweise hängen beim Durchströmen eines kreisförmigen Rohrs die viskosen (Scher-) Kräfte vom Geschwindigkeitsprofil von der Achse des Rohrs zu den Wänden ab. Wenn die Geschwindigkeit entlang der Rohrachse gleich bleibt, halbiert die Verdoppelung des Radius (ungefähr) die Schergeschwindigkeit zwischen der Achse und den Wänden (wobei die Geschwindigkeit Null ist). Der Radius oder der Durchmesser sind also eine gute Wahl für die charakteristische Länge.

Offensichtlich ist Re unterschiedlich (um den Faktor 2), wenn Sie den Radius oder den Durchmesser wählen. In der Praxis trifft also jeder die gleiche Wahl und jeder verwendet den gleichen kritischen Wert von Re für den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung. Aus praktischer technischer Sicht wird die Größe eines Rohrs durch seinen Durchmesser angegeben, da dies leicht zu messen ist. Sie können den Durchmesser also auch für Re verwenden.

Für ein Rohr, das ungefähr kreisförmig ist, können Sie (durch ein ähnliches physikalisches Argument) entscheiden, dass der Umfang des Rohrs wirklich die wichtigste Länge ist, und daher die Ergebnisse mit kreisförmigen Rohren vergleichen, indem Sie einen "äquivalenten Durchmesser" verwenden, der als definiert ist (Umfang / pi).

Andererseits hat die Länge des Rohrs keinen großen Einfluss auf das Fluidströmungsmuster, so dass dies für die meisten Zwecke eine schlechte Wahl der charakteristischen Länge für Re wäre. Wenn Sie jedoch eine Strömung in einem sehr kurzen "Rohr" in Betracht ziehen, dessen Länge viel kleiner als der Durchmesser ist, ist die Länge möglicherweise die beste Zahl, die als Parameter für die Strömung verwendet werden kann.

Es gibt drei Hauptmethoden, um zu bestimmen, welche Begriffsgruppen (allgemeiner als nur Längen- oder Zeitskalen) relevant sind. Die erste ist mathematisch, was beinhalten könnte, ein Problem oder ein analoges oder geeignetes Problem analytisch zu lösen und zu sehen, welche Begriffe erscheinen, und eine Auswahl zu treffen, die die Dinge angemessen vereinfacht (mehr dazu weiter unten). Der zweite Ansatz ist mehr oder weniger durch Versuch und Irrtum. Der dritte ist ein Präzedenzfall, normalerweise, wenn jemand anderes in der Vergangenheit bereits eine der zuvor erwähnten Analysen in diesem oder verwandten Problemen durchgeführt hat.

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, theoretische Analysen durchzuführen, aber eine nützliche Methode im Ingenieurwesen ist die Nichtdimensionalisierung von Regelungsgleichungen. Manchmal ist die charakteristische Länge offensichtlich, wie dies bei einer Rohrströmung der Fall ist. In anderen Fällen gibt es jedoch keine offensichtlichen charakteristischen Längen , wie dies bei freien Scherströmungen oder einer Grenzschicht der Fall ist. In diesen Fällen können Sie die charakteristische Länge zu einer freien Variablen machen und eine auswählen, die das Problem vereinfacht . Hier sind einige gute Hinweise zur Nichtdimensionalisierung , die die folgenden Vorschläge zum Auffinden charakteristischer Zeit- und Längenskalen enthalten:

1. (immer) Machen Sie so viele nicht-dimensionale Konstanten wie möglich gleich eins.
2. (normalerweise) Machen Sie die Konstanten, die in den Anfangs- oder Randbedingungen erscheinen, gleich eins.
3. (normalerweise) Wenn es eine nichtdimensionale Konstante gibt, die, wenn wir sie gleich Null setzen würden, das Problem erheblich vereinfachen würde, lassen Sie es frei und sehen Sie dann, wann wir es klein machen können.

Der andere Hauptansatz besteht darin, ein Problem vollständig zu lösen und festzustellen, welche Begriffsgruppen auftreten. Im Allgemeinen ist die relevante Länge offensichtlich, wenn Sie den Begriff aus dieser Art der theoretischen Analyse herausgreifen, obwohl diese Art der Analyse oft leichter gesagt als getan ist.

Aber wie finden Sie eine gute Länge heraus, wenn Sie keine theoretische Analyse haben? Oft spielt es keine Rolle, welche Länge Sie wählen. Einige Leute scheinen dies für verwirrend zu halten, da ihnen beigebracht wurde, dass der Turbulenzübergang bei von 2300 (für ein Rohr) oder 500.000 (für eine flache Platte) auftritt . Beachten Sie, dass es im Rohrgehäuse keine Rolle spielt, ob Sie den Durchmesser oder den Radius auswählen. Das skaliert die kritische Reynolds-Zahl nur um den Faktor zwei. Wichtig ist, dass alle von Ihnen verwendeten Kriterien mit der Definition der von Ihnen verwendeten Reynolds-Zahl und dem von Ihnen untersuchten Problem übereinstimmen . Es ist Tradition, dass wir den Durchmesser für Rohrströme verwenden.$Re$

Um allgemein zu sein, könnten Analysen oder Experimente auch eine andere Zahl vorschlagen, beispielsweise die Biot-Zahl, die ebenfalls eine "charakteristische Länge" enthält. Die Verfahren in diesem Fall sind identisch mit den bereits erwähnten.

Manchmal können Sie eine heuristische Analyse durchführen, um die relevante Länge zu bestimmen. Im Beispiel der Biot-Zahl wird diese charakteristische Länge normalerweise als Volumen eines Objekts geteilt durch seine Oberfläche angegeben, da dies für Wärmeübertragungsprobleme sinnvoll ist. (Größeres Volumen = langsamere Wärmeübertragung zur Mitte und größere Oberfläche = schnellere Wärmeübertragung zur Mitte.) Ich nehme jedoch an, dass dies aus bestimmten Näherungswerten abgeleitet werden kann. Sie können ein ähnliches Argument vorbringen, das den hydraulischen Durchmesser rechtfertigt .