Wie lange dauert es, bis sich Staub aus der Luft absetzt?

Um dies zu einer überschaubaren Frage zu machen, fügen wir einige Vereinfachungen hinzu.

Die Staubpartikel können gut als gleichmäßige Kugeln mit Radius und Dichte . $R$ $\rho$
Der Raum ist umschlossen und es gibt keinen Massenstrom, dh die Luft ist immer noch makroskopisch.
Die Luft hat die Standardtemperatur und den Standarddruck (STP) . und . $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

Was ist unter diesen Bedingungen die Absetzzeit für Staubpartikel? Bei welcher Größe / Dichte wird die Brownsche Bewegung der Luft wichtig?

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— Chris Mueller
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Antworten:

Die Absetzzeit fester Partikel in Luft hängt hauptsächlich von der Partikelgröße ab. Je nachdem, über welchen Größenbereich Sie sprechen, werden unterschiedliche Kräfte erheblich. Daher ist es schwierig, eine präzise und genaue Antwort zu geben.

Ich werde mein Bestes tun, um die wichtigen Punkte zusammenzufassen, anstatt eine Referenz zu papageien. Wenn es jedoch um praktische Anwendungen im Bereich der Luftqualität geht, empfehle ich den Text Air Pollution Control von Cooper & Alley . Insbesondere werde ich viele Details für diese Antwort aus Abschnitt 3.3: Partikelverhalten in Flüssigkeiten ziehen.

Übersicht über die Gravitationssiedlung

Staub verhält sich nicht wie Galileos Boccia-Bälle . kleine Partikel unterschiedlicher Größe fallen unterschiedlich schnell ab. Bei festen Partikeln ist die Variation der Absetzgeschwindigkeit hauptsächlich auf den Einfluss der Widerstandskräfte zurückzuführen.

Man könnte erwarten, dass die Brownsche Bewegung sehr kleine Partikel "jongliert" und sie daran hindert, sich abzusetzen. Ausreichend kleine Staubpartikel können unbegrenzt mitgerissen werden, aber praktisch hat dies mehr damit zu tun, dass die Luft niemals vollkommen still ist als mit der Brownschen Bewegung. Im Zusammenhang mit der Luftqualität kümmern wir uns hauptsächlich um die Brownsche Bewegung, wenn wir die Einwirkung (z. B. auf Wassertropfen in einem PM-Nasswäscher ) oder die Ablagerung (z. B. auf Laub in der Nähe von Straßen ) berücksichtigen . Keiner dieser Mechanismen ist für den Fall einer reinen Gravitationsablagerung relevant.

$d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2.0 \frac{λ}{d_{p}} [1.257 + 0.40 \exp (- 0.55 \frac{d_{p}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

Was "klein genug" eigentlich bedeutet, heißt es im Cooper & Alley-Text:

Für Partikel kleiner als 1 Mikron ist der Schlupfkorrekturfaktor immer signifikant, nähert sich jedoch schnell 1,0, wenn die Partikelgröße über 5 Mikron ansteigt.

Dies könnte eine Rechtfertigung genug sein, um sich die Zeit oder die Verarbeitungszyklen zu ersparen, die zur Berechnung des Korrekturfaktors erforderlich sind, wenn es sich nur um relativ große Partikel handelt.

Bewegungsgleichung

Wir können eine Bewegungsgleichung in einer Dimension wie folgt ableiten.

$m_{p} v_{r}^{'} = F_{g} - F_{B} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
$m_{p} v_{r}^{'} = m_{p} g - m_{a i r} g - 3 π μ d v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
$v_{r}^{'} = g - \frac{m_{a i r}}{m_{p}} g - \frac{3 π μ d}{m_{p}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
$v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{p} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
$V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{p} d^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

τ = \frac{ρ_{p} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

$\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{a i r}}{ρ_{p}}) g

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{* Das Koordinatensystem für dieses Beispiel ist so definiert, dass die Fallgeschwindigkeit positiv ist.}

Endgeschwindigkeit

$\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} g

$v_t = \tau' g$

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - e^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

$t = 4 \tau'$

Größerer Staub

Das ist alles gut und schön für kleineren Staub, aber was ist mit dem größeren Zeug, das in deine Augen gelangt und dich zum Husten bringt? Nun, schlechte Nachrichten von Cooper & Alley:

Für ein Teilchen mit einer Größe von mehr als 10–20 Mikrometern, das sich mit seiner Endgeschwindigkeit absetzt, ist die Reynolds-Zahl zu hoch, als dass die Analyse des Stokes-Regimes gültig wäre. Für diese größeren Teilchen sind empirische Mittel erforderlich, um die Absetzgeschwindigkeit zu erhalten ...

"Empirische Mittel" ist eine gute Möglichkeit, es selbst herauszufinden oder sich daran zu gewöhnen, Diagramme zu lesen, in denen angepasste Kurven mit hässlichen Dezimalexponenten zu den Ergebnissen früherer Experimente dargestellt werden.

— Luft
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v_{terminal} = \frac{2 g R^{2} (ρ_{particle} - ρ_{air})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

Ich fand einige genauere Daten für Partikel mit unterschiedlichen Radien, die in Halbwertszeiten angegeben wurden. etwas mehr Daten sind hier .

Eine grafische Darstellung der Zeit für Kohle, Eisen und Zement des Absetzens gegeben hier , das weiterhin die nichtlinearen darstellen, inverse exponentielle Beziehung zwischen Staub Radien und Einschwingzeit.

Die Theorie des Absetzens wird hier auf Solarnebel angewendet . Ich bin mir nicht sicher, wie viele der Formeln hier angewendet werden können, aber einige können nützlich sein.

t = \frac{ρ_{dust}}{ρ_{air}} \frac{R}{v_{thermal}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$

v_{thermal} = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π μ m_{particle}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
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Sie beginnen mit "für ein einzelnes Teilchen ...". Gilt die Idee auch für einen dichten Partikelnebel?

— Trilarion

@Trilarion Es ist, aber Sie müssten für jeden unterschiedliche Berechnungen durchführen.

— HDE 226868

@ Air Whoops, korrigierte die Mathematik. Was ich mit der Höhe gemeint habe, war, dass Sie die Einschwingzeit nicht berechnen können, wenn Sie nur die Endgeschwindigkeit kennen. Sie müssen die Anfangsbedingungen kennen.

— HDE 226868

Wahr. Diese Nebelrutschen sind wirklich interessant. Sie führen zu einer weiteren Einschränkung des Ansatzes der "einheitlichen Kugel", nämlich dass Partikel im Submikronbereich dazu neigen, sich miteinander zu verbinden, um größere Partikel im Submikronbereich und feine Partikel zu bilden. Ein Teil davon ist auch reaktiv oder entsteht aus Vorläufern in der Luft. Viele Komplexitäten und ein Bereich mit vielen laufenden Forschungen.

— Air

@Air Angesichts der Tatsache, wie sehr ich Astrophysik liebe und in welchem Bereich - Trümmerscheiben - untersucht wird, war es eine ziemliche Überraschung, etwas Neues zu lernen, wenn man etwas ganz anderes untersucht, nämlich die Luftqualität.

— HDE 226868