Können Sie die Hagen-Poiseuille-Gleichung für ein Rohr verwenden, dessen Radius im Submillimeterbereich liegt?

Da dies vom Druckabfall abhängt , wird davon ausgegangen, dass der Bereich von 0 bis 100 bar nicht verlassen wird. Die Hagen-Poiseuille-Gleichung für eine inkompressible Flüssigkeit ist definiert als: $\Delta p$

\dot{V} = \frac{π R^{4} Δ p}{8 η L}

$\dot{V} = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8\eta L}$

Mir ist klar, dass es für sehr kleine (nm) Durchmesser nicht anwendbar ist, daher steht diese Frage im Zusammenhang mit der Mikrofluidik. In diesem Fall interessierende Flüssigkeiten haben eine kinematische Viskosität von 1 cSt bis 10000 cSt.

fluid-mechanics microfluidics

— John HK
quelle

Sie haben die Substanz nicht benannt (obwohl ich selbst dann keine Antwort geben konnte)

— dcorking

@dcorking Sie möchten also die interessierende Viskosität kennen? Da es sich um eine inkompressible Flüssigkeit handelt, wäre dies die einzige physikalische Größe, die sich ändern würde. Natürlich, wenn Sie nicht-Newtonsche Flüssigkeiten beiseite lassen. Die interessierenden kinematischen Viskositäten würden zwischen 1 cSt und 10000 cSt liegen.

— John HK

Sie haben es nur mit einer einzigen flüssigen Phase zu tun, oder? Wenn Sie zwei Flüssigkeiten miteinander in Kontakt hätten, würden Oberflächenspannungseffekte die Anwendung von Hagen-Poiseuille verhindern.

— Paul

@dcorking Danke, ich schaue hinein. Wenn Sie ihre Argumentation auf diesen Fall übertragen würden, wäre die Hagen-Poiseuille-Gleichung nicht anwendbar, wenn Sie Durchmesser erreichen, die mit der Größe der Wassermoleküle vergleichbar sind.

— John HK

@Paul Ja, es ist nur eine einzige flüssige Phase vorhanden.

— John HK

Kurze Antwort: JA, das können Sie.

Lange Antwort:

A) Grenzen der Kontinuumsmechanik:

Das Kontinuumsmodell der Fluiddynamik ist nur gültig, bis sich das Fluid als kontinuierliches Medium verhält. Dies ist durch die Knudsen-Zahl gekennzeichnet . Die Knudsen-Zahl wird durch , wobei der mittlere freie Weg und die charakteristische Abmessung des Kanals ist (Durchmesser im Fall des kreisförmigen Rohrs). Nichtgleichgewichtseffekte treten auf, wenn . Modifizierte Schlupfgrenzbedingungen können für , und das Kondinuumsmodell bricht vollständig, wenn . ( Lustige Tatsache: $Kn = \frac{\lambda}{l_s}$ $\lambda$ $l_s$ $Kn > 10^{-3}$ $10^{-3} < Kn < 10^{-1}$ $Kn > 1$ Da der Abstand zwischen zwei Fahrzeugen auf einer überfüllten Straße viel kleiner ist als der gerade Teil der Straße selbst (Längenskala im Fluss), können wir den Verkehrsfluss mit einer PDE modellieren ! Es wird jedoch nicht funktionieren, wenn sich nur ein Auto auf einer langen Strecke befindet. $1d$

Zurück zum Wasser, da sich die Wassermoleküle nicht frei bewegen und lose gebunden sind, betrachten wir den Gitterabstand für die Berechnung von . Für Wasser beträgt etwa . Die Kontinuumstheorie gilt also für eine Röhre mit einem Durchmesser von oder mehr . Das sind gute Nachrichten! $\delta$ $Kn$ $\delta$ $3 nm$ $300 nm$ $^*$

$^*$ Hinweis: Flüssigkeitsströme in Mikrokanälen

B) Anwendbarkeit der Hagen Poiseuille-Gleichung:

Da sich Ihr Rohr im Sub-Millimeter-Bereich befindet, ist es viel größer als der für die Kontinuitätsgleichung erforderliche Mindestdurchmesser (Submikrometer). Jedoch in Abhängigkeit von der Form des Querschnitts des Rohres, werden die Ergebnisse unterscheiden ( Link zu ref. ). Flüssigkeitsströme sind viel einfacher zu analysieren, da sie durch eine viel geringere Anzahl und Geschwindigkeit von Reynold gekennzeichnet sind. Auch die Dichte bleibt im wesentlichen konstant. Es sollte also kein Problem geben, die Theorie als gültig zu betrachten. Da der Hagen Poiseuille-Fluss nun aus den Navier Stokes-Gleichungen abgeleitet wird, folgt er der Annahme der Kontinuität.

Wenn Ihr Fluss durch ein poröses Medium erfolgt, müssen Sie möglicherweise Effekte wie den elektrokinetischen Effekt berücksichtigen . Es kann andere Komplikationen bei der einfachen Anwendung von HP-Gleichungen auf mikrofluidische Strömungen geben, aber ich kann keine Kommentare abgeben, da ich auf diesem Gebiet nicht viel weiß.

C) Einige Beispiele

In einem Bericht über "Mikrofluidik-Vernetzung" hat Biral die Kontinuumstheorie zur Modellierung und Simulation (in OpenFOAM) der Mikrofluidik-Strömungen verwendet.

Fillips diskutiert mehr über die Knudsen-Zahl in seiner Arbeit Limits of Continuum Aerodynamics.

In diesem Bericht wird klar erwähnt, dass die HP-Gleichung auch auf mikrofluidische Strömungen anwendbar ist

Dieses Dokument zum PDMS-Viskosimeter enthält eine Ableitung der HP-Gleichung für mikrofluidische Strömungen.

Schließlich gibt es hier ein YouTube-Video über den Matrixformalismus zur Lösung des Hagen-Poiseuille-Gesetzes in mikrofluidischen Hydraulikkreisen.

Basierend auf diesen Referenzen sollte man davon ausgehen können, dass die HP-Gleichung auf mikrofluidische Strömungen angewendet werden kann. Experten sind jedoch herzlich eingeladen, uns diesbezüglich aufzuklären.

Prost!

— Subodh
quelle

Wow, was für eine gut durchdachte Antwort! Ich kannte die Knudsen-Zahl im Zusammenhang mit der Vakuumtechnologie, wusste aber nicht, dass Sie sie in diesem Fall natürlich verwenden können.

— John HK