Was sind die elastischen Konstanten für tetragonale Zirkonoxidpolykristalle (TZP)?

Ich habe sechs bekannte elastische Konstanten von TZP . Welche Beziehung besteht zwischen den bekannten und den unbekannten Konstanten?

Bekannte Konstanten (GPa):

$c_{11}=327\\ c_{12}=100\\ c_{13}=62\\ c_{33}=264\\ c_{44}=59\\ c_{66}=64$

Wie finde ich die anderen? Ist ? Exibitiert TZP transversale Isotropie?$c_{22}=c_{11}$

Sind die Beziehungen zwischen den Tensorkomponenten und den Koordinatenachsen gegeben durch: für x-Richtung, für y und für z; (4) für yz, (5) für zx und (6) für xy? c 22 c 33 c 23 c 31 c $c_{11}$$c_{22}$$c_{33}$$c_{23}$$c_{31}$$c_{12}$

Verallgemeinerter linearer Elastizitätstensor

Im Allgemeinen können Spannung und Dehnung jeweils durch einen Tensor 2. Grades mit Elementen modelliert werden . Eine vollständige lineare Beziehung zwischen den Spannungs- und Dehnungstensoren erfordert, dass jedes Element mit jedem anderen Element gepaart wird, was einen Tensor 4. Grades mit Elementen ergibt. Durch die Symmetrie des Spannungstensors, dh , ist jedes Element im vollen Elastizitätstensor. Die Anzahl der eindeutigen Elemente beträgt jetzt 54, da jedes dritte Element einen symmetrischen Partner hat. Ebenso ist durch Symmetrie des Dehnungstensors, dh , jedes Element$3\times 3=9$$9\times 9=81$$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$$C_{ijkl}=C_{jikl}$$\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}$$C_{ijkl}=C_{ijlk}$im vollen Elastizitätstensor. Die Anzahl der eindeutigen Elemente beträgt jetzt 36, was wiederum einer Reduzierung um ein Drittel entspricht. Es gibt eine zusätzliche Dehnungsenergiesymmetrie, da der Beitrag der Dehnungsenergie einer elastischen Konstante von und von der Umkehrung der Reihenfolge zu sollte keinen Einfluss auf die Gesamtenergie der Dehnung haben und . Die Anzahl der eindeutigen Elemente beträgt jetzt 21.$C_{ijkl}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl}$$C_{klij}\varepsilon_{kl}\varepsilon{ij}$$C_{ijkl}=C_{klij}$

Voigt Reduced Elasticity Tensor

Unter Verwendung der Voigt-Notation können die 21 Elemente in einem symmetrischen Tensor oder einer symmetrischen Matrix 2nd-rank ausgedrückt werden, die einen Spannungstensor oder -vektor mit Elementen 1st-rank mit einem ähnlichen Dehnungsvektor in Beziehung setzt . Die Elemente der Spannungs- und Dehnungsvektoren sind und für axiale Spannungen und Dehnungen und , und für Schubspannungen mit entsprechenden doppelten Schubspannungen ,$6\times 6$$6$$\sigma_{ii}\rightarrow\sigma_{i}$$\varepsilon_{ii}\rightarrow\varepsilon_{i}$$\sigma_{23}\rightarrow\sigma_{4}$$\sigma_{31}\rightarrow\sigma_{5}$$\sigma_{12}\rightarrow\sigma_{6}$$2\varepsilon_{23}\rightarrow\varepsilon_{4}$$2\varepsilon_{31}\rightarrow\varepsilon_{5}$und . Ich werde alle Schubspannungen als und Dehnungen als . Die Koeffizienten gehen dann von 4 Subindizes zu 2 Subindizes im Bereich von 1 bis 6, und ich schreibe mit Kleinbuchstaben als , wie es das OP hat.$2\varepsilon_{12}\rightarrow\varepsilon_{6}$$\tau_{i}$$\gamma_{i}$$c_{ij}$

Hookesche Elastizität

Unter der Annahme einer Hookschen linearen Elastizität verschwinden 9 der 21 Elemente des Voigt-Tensors sofort, insbesondere diejenigen, die Schubspannungen ( ) mit axialen Dehnungen ( ) und axialen Spannungen ( ) in Scherdehnungen ( ), so dass 12 Elemente übrig bleiben. Die so eliminierten Elemente sind 14, 15, 16, 24, 25, 26, 34, 35 und 36.$\tau_{ij}$$\varepsilon_{kl}$$\sigma_{ij}$$\gamma_{kl}$

Drei der verbleibenden 12 verhalten sich in einer Richtung zur Scherbeanspruchung in einer anderen Richtung (z. B. bis ) und verschwinden somit auch unter der linearen Hook'schen Elastizität. Die so eliminierten Elemente sind 45, 56 und 46.$\tau_{12}$$\gamma_{23}$

Tetragonale Symmetrie in der Elastizität

Es bleiben nur 9 Elemente in drei Kategorien:

Axial:$c_{11},c_{22},c_{33}$

Axial aufgrund des Poisson-Effekts:$c_{12},c_{13},c_{23}$

Schere:$c_{44},c_{55},c_{66}$

Aufgrund der Symmetrie des tetragonalen Gitters sind die Gitterparameter :$a_{1}=a_{2}\neq a_{3}$

$c_{11} = c_{22}$ da das elastische Verhalten in Richtung und aufgrund der Gittersymmetrie gleich sein muss.$1$$2$

$c_{13} = c_{23}$ da der Poisson-Effekt ähnlich symmetrisch ist.

1 , 3 c 44 2 , 3 c 55 1 $c_{44} = c_{55}$ da die elastische Scherreaktion im Sinne der Richtungspaare ( ) und ( ) gleich sein muss, da die Richtungen und sind symmetrisch.$1,3$$c_{44}$$2,3$$c_{55}$$1$$2$

c $c_{33}$ und haben keine gemeinsamen Symmetrien.$c_{66}$

Dies lässt 6 einzigartige Elemente übrig, die Sie haben, dh .$c_{11},c_{12},c_{13},c_{33},c_{44},c_{66}$