Wie ist die physikalische Interpretation des zweiten Terms im viskosen Spannungstensor in den Navier-Stokes-Gleichungen?

Ich habe eine Weile nach dieser Antwort gesucht. Ich habe zahlreiche Texte gelesen und sogar einige Vorträge online gesehen, aber oft wird dies nie erklärt und nur gegeben. Der viskose Spannungsterm in den Navier-Stokes-Gleichungen sieht so aus

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Jetzt ist der Begriff weiterempfehlen ist leicht genug , um zu verstehen , wie es nur Geschwindigkeit Diffusion ist, aber ich habe eine harte Zeit mit einer physikalischen Interpretation des Begriffs kommen weiterempfehlen . Nachdem ich diesen Begriff erweitert hatte, endete ich mit $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

was zu bedeuten scheint, dass dieser Effekt in einem divergenzfreien Geschwindigkeitsfeld nicht vorhanden ist, aber ich kann immer noch keine physikalische Intuition darüber finden, was dieser Begriff tatsächlich bedeutet. Versteht jemand, was dieser Begriff physikalisch darstellt?

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— Adam O'Brien
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Zusatz: Sie haben Recht, dass der Begriff im inkompressiblen Fluss fehlt. Es sieht so aus, als würde die Impulsdiffusion aufgrund von Dichtegradienten berücksichtigt. Zwei benachbarte Flüssigkeitspakete können dieselbe Geschwindigkeit, aber unterschiedlichen Impuls haben. Zwischen ihnen besteht keine Scherspannung, aber der Impuls wird diffundieren.

— Dan,

Diese Frage ist für das Engineering aktuell. Ich habe einige Kommentare entfernt, die andere Websites für diese Frage vorschlagen. Zum Teil, weil man nach einem angewandten Verständnis der Gleichung verlangt, aber auch, weil dies ein Teil der Kontinuumsmechanik ist. Bitte denken Sie daran, dass es in Ordnung ist, ein bisschen eifersüchtig auf Ihre Website zu sein

Zugehörige Metadiskussion

Der Punkt, an dem ein Impulsgradient aufgrund eines Dichtegradienten ungleich Null vorhanden war, war gut. Vielen Dank an alle für Ihre Antworten!

— Adam O'Brien

Antworten:

Sie sollten diese beiden Begriffe bei der Suche nach physikalischer Interpretation nicht trennen. Der Term ist der Dehnungsratentensor . Der Impulsfluss (oder die Spannung) aufgrund der Tatsache, dass wir ein strömendes Fluid haben, wird durch den gesamten Term $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ . In der NS-Gleichung können beide Terme als Kraftdichten (Kraft pro Volumeneinheit) betrachtet werden. Sie haben Recht, dass der zweite Term für inkompressible Strömungen Null ist (siehehier). $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

UPDATE: Die vollständige Ableitung des Dehnungsratentensors ist komplex und könnte hier außer Reichweite sein. Wenn Sie interessiert sind, habe ich festgestellt, dass eine gute Ressource Einführung in die Strömungsmechanik von Whitaker ist. Nehmen kurz an, dass der Tensor die Dehnungsrate darstellt und fest wie eine Drehbewegung ist. Jeder Tensor kann folgendermaßen zerlegt werden: $\nabla \vec{u}$ Der erste Term wird typischerweise als Dehnungsratentensor bezeichnet, ist symmetrisch und es kann gezeigt werden, dass er keine starre Drehbewegung enthält. Der zweite Term wird in der Regel als Vorticity-Tensor bezeichnet. Er ist schiefsymmetrisch, und es kann gezeigt werden, dass er nicht zur Dehnungsrate beiträgt und eine starre Drehbewegung darstellt.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Salomon Turgman
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Das habe ich untersucht, aber ich habe versucht, eine Art Ableitung des Dehnungsratentensors zu finden, bevor ich mich auf eine Antwort festgelegt habe, um zu verstehen, warum er die reguläre und transponierte Matrix enthält.

— Trevor Archibald

Vielen Dank, ich habe die von Ihnen vorgeschlagene Dehnraten-Tensorableitung aus der Geometrie durchlaufen, und das hat mir sehr geholfen.

— Adam O'Brien

Ich bin mit @sturgman einverstanden, man sollte sich nicht einzelne Teile ansehen, sondern versuchen, es im ints Kontext zu verstehen.

Betrachten Sie die grundlegende Version der Navier-Stokes-Gleichung (unter Verwendung der Einstein-Notation ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

Der unterstrichene Teil im Original kann umgeschrieben werden.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Was dazu führt:

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

In symbolic notation this should look like:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

Part $\text{III}$ is not always shown like this depending on the way the Newtonian stress tensor was introduced. Since $\lambda^*$ is a fluid property which is very hard to measure but varies only little, Stokes Hypothesis sets it to $-2/3 \eta$ (Which is technically only true for monoatomic gases).

Part $\text{III}$ describes a feature of a fluid where the atomic structure of the fluid-molecule can absorb energy, it is sometimes referred to as pressure-viscosity. Whereas Part $\text{IV}$ describes the resistance of the flow when sheared, part $\text{III}$ describes the resistance of a fluid-volume when it is "isobarically" expanded or compressed.

— rul30
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I am sorry :-( It wasn't my intent.

— peterh - Reinstate Monica