Vom Ventilator ausgeübte Kraft bei unsichtbarem und inkompressiblem Durchfluss

Ich habe einen Windkanal (Unterschallluftstrom), der aus einem Ventilator in (und vor) einem langen Zylinder mit einer Querschnittsfläche von , gefolgt von einem Diffusor mit Fläche von cs ( ). . Der Lüfter unterhält eine Geschwindigkeit von im Inneren des Tunnels. Unter der Annahme, dass die Strömung unsichtbar und inkompressibel ist, möchte ich den Kraftbetrag pro Flächeneinheit ermitteln, den der Ventilator aufbringt. $A_e$ $A_o$ $A_o>A_e$ $V_e$

Ich habe das gesamte Innere des Tunnels (einschließlich Lüfter) als festes, nicht deformierendes Kontrollvolumen ausgewählt.

Anwenden der Impulserhaltung für den Lebenslauf (verwendeter Manometerdruck):

F = ρ (V_{o}^{2} A_{o} - V_{i}^{2} A_{e}) = ρ V_{e}^{2} A_{e} (A_{e} / A_{o})

$F=\rho(V_o^2A_o-V_i^2A_e)=\rho V_e^2A_e(A_e/A_o)$

Das Volumenintegral wurde abgesenkt, da der Durchfluss konstant ist.

Der letzte Übergang wurde mit Hilfe von Conservation of Mass durchgeführt, was ergibt:

A_{e} V_{e} = A_{o} V_{o}

$A_eV_e=A_oV_o$

Die richtige Antwort sollte und in den verfügbaren Lösungen wurde Bernoulli für die Stromleitung verwendet, die nach dem Ventilator beginnt und außerhalb des Tunnels bei atm endet Druck und Momentum Conservation wurde auf ein Kontrollvolumen angewendet, das nur den Lüfter umfasste. $(\rho/2)V_e^2A_e(A_e/A_o)^2$

fluid-mechanics

— Rubenz
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— Wasabi

Warum nehmen Sie inkompressible Strömung an? Luft ist kompressibel! Ohne eine klarere Begründung glaube ich nicht an eine Antwort, die von einer völlig falschen Annahme ausgeht.

— Jeffrey J Weimer

Die Frage besagt eindeutig, dass der Fluss inkompressibel ist.

— Rubenz

Ich glaube, obwohl Luft komprimierbar ist, ist es unter bestimmten Umständen möglich, eine inkompressible Strömung anzunehmen .

— Rubenz

@JeffreyJWeimer Es ist üblich anzunehmen, dass Luft inkompressibel ist, wenn die Strömungsgeschwindigkeiten weniger als das 0,3-fache der Schallgeschwindigkeit betragen. Der Fehler ist nicht größer als der Fehler, der verursacht wird, indem andere Dinge aus dem Modell herausgelassen werden (z. B. detaillierte Modellierung aller Grenzschichten, Turbulenzeffekte usw.), und die Mathematik ist für inkompressiblen Fluss sehr viel einfacher.

— Alephzero

Antworten:

Ich glaube, ich habe es herausgefunden.

Da wir die Kraft wollen, die der Lüfter auf die Luft ausübt, verwenden wir die Aufrechterhaltung des linearen Impulses in einem CV, der den Lüfter einkapselt.

$p{dA}\hat{n}\cdot\hat{x}$

Wenn wir dieses Problem lösen, indem wir unseren Lebenslauf um den Tunnel selbst erweitern, schneiden wir Materie durch, die inneren Kräften ausgesetzt ist, die wir nicht haben.

F + (p_{i} - p_{e}) A_{e} = \dot{m} (v_{e} - v_{i})

$F+(p_i-p_e)A_e=\dot{m}(v_e-v_i)$

p_{i}

$p_i$

p_{e}

$p_e$

F

$F$

$v_i=v_e$

\begin{matrix} (1) & F = (p_{e} - p_{i}) A_{e} \end{matrix}

$F=(p_e-p_i)A_e \tag{1}$

1) von "weit weg" vor dem Einlass, wo der Druck atmosphärisch ist und die Geschwindigkeit Null ist, bis zu dem Querschnitt, wo wir definiert haben $p_i$

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{2} ρ v_{e}^{2} = p_{a} - p_{i} \end{matrix}

$\frac{1}{2}\rho v_e^2=p_a-p_i \tag{2}$

$p_e$

v_{e} A_{e} = v_{o} A_{o}

$v_eA_e=v_oA_o$

\frac{1}{2} ρ (v_{e}^{2} - v_{o}^{2}) = p_{a} - p_{e}

$\frac{1}{2}\rho (v_e^2-v_o^2)=p_a-p_e$

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{2} ρ v_{e}^{2} (1 - (\frac{A_{e}}{A_{o}})^{2}) = p_{a} - p_{e} \end{matrix}

$\frac{1}{2}\rho v_e^2(1-(\frac{A_e}{A_o})^2)=p_a-p_e \tag{3}$

p_{e} - p_{ich} = \frac{1}{2} ρ v_{e}^{2} (\frac{EIN e}{{EIN}_{O}})^{2}

$p_e-p_i=\frac{1}{2}\rho v_e^2(\frac{Ae}{A_o})^2$

\frac{F}{{EIN}_{e}} = \frac{1}{2} ρ v_{e}^{2} (\frac{EIN e}{{EIN}_{O}})^{2}

$\frac{F}{A_e}=\frac{1}{2}\rho v_e^2(\frac{Ae}{A_o})^2$

— Rubenz
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Hier ist der richtige Ansatz für den Startpunkt mit Luft.

Nimm das Gas als kompressibel und ideal. Erhaltung der Masse gibt

{\dot{n}}_{e} = {\dot{n}}_{ich} = \dot{n}

$\dot{n}_e = \dot{n}_i = \dot{n}$

v_{e} {EIN}_{e} \frac{p_{e}}{T_{e}} = v_{ich} {EIN}_{ich} \frac{p_{ich}}{T_{ich}}

$v_e A_e \frac{p_e}{T_e} = v_i A_i \frac{p_i}{T_i}$

Nehmen Sie einen konstanten Flächen- und Isothermenfluss an.

v_{e} = \frac{p_{ich}}{p_{e}} v_{ich}

$v_e = \frac{p_i}{p_e} v_i$

Bei isothermer Strömung eines idealen Gases wird daher die Kraft des Gebläses durch eingestellt

F = (p_{e} - p_{ich}) {EIN}_{e} + m v_{ich} (\frac{p_{ich}}{p_{e}} - 1)

$F = \left(p_e - p_i\right)A_e + mv_i \left(\frac{p_i}{p_e} - 1\right)$

Die beiden Begriffe sind die Arbeit, um das Fluid (ideales Gas) über eine Druckdifferenz zu bewegen, und die Arbeit, die ausgeführt wird, wenn sich das Gas über diese Druckdifferenz ausdehnt / zusammenzieht.

$p_i/p_e \approx 1$

$p_i/p_e$

Die verbleibende Ableitung für ein kompressibles, ideales Gas bleibt als Übung für den Leser.

— Jeffrey J Weimer
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