Ableitung für Brückeneigenfrequenzschätzung in Eurocodes

Die Eurocodes geben die folgende Gleichung für die Schätzung einer "einfach gehaltenen Brücke, die nur gebogen werden darf" * an:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Wo

• $n_0$ ist die Eigenfrequenzin Hertz
• $\delta_0$ ist die Durchbiegung in der Mitte der Spannweite bei dauerhaften in mm

Die Gleichung scheint aus der Luft gegriffen worden zu sein, und es gibt keine Erklärung, woher die Konstante 17,75 kommt. Als Ingenieur möchte ich keine Formel verwenden, die ich nicht verstehe, aber darüber hinaus wäre es hilfreich, die Grundlagen dahinter zu lernen, damit ich sehen kann, ob sie geändert werden kann, um mit anderen Unterstützungsbedingungen zu funktionieren.

Kann jemand eine Ableitung / einen fundamentalen Ursprung für diese Beziehung liefern?

* Volle Referenz ist: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Anmerkung 8] (Gleichung 6.3), falls dies hilfreich ist.

Vereinfachen wir die gesamte Brücke zu einem 2D-Dünnstrahl mit konstanter Querschnittsgröße, ohne innere Dämpfung und nur geringen vertikalen Auslenkungen, so wird die Eigenfrequenz durch einfache harmonische Bewegung bestimmt:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Dabei ist die Eigenfrequenz, k das Verhältnis zwischen Rückstellkraft und Durchbiegung (die äquivalente Federsteifigkeit) und m die Masse pro Längeneinheit des Trägers.$n_0$$k$$m$

In einem Balken ist die Rückstellkraft die innere Scherung, die durch die ausgelenkte Form verursacht wird. Da die von einem Balken ausgeübte Kraft proportional zur Scheränderungsrate ist, die sich auf die Steifigkeit ( ) und die Änderungsrate des Moments bezieht, kann sie angezeigt werden (Anmerkung: Die Durchbiegung ist proportional zur Länge der Strahl), dass:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

Wobei der Elastizitätsmodul des Trägermaterials ist, I das zweite Trägheitsmoment des Trägerteils ist, L die Länge des Trägers ist und α eine Konstante ist, die durch die Stützbedingungen und die Modenzahl der Antwort bestimmt wird.$E$$I$$L$$\alpha$

Die gesamte Literatur, die ich gesehen habe, drückt dies auf eine Weise aus, die für die Frequenzgleichung bequemer ist:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Zurück in,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

Die Berechnung des Wertes von ist sehr aufwändig, und es gibt einen genauen Ansatz für einfache Lösungen und Näherungsmethoden, einschließlich der Freien-Energie-Methode und von Raleigh Ritz. Einige Abweichungen für einen einfach gehaltenen Balken finden Sie hier .$K$

Es sollte beachtet werden, dass diese Gleichung ausreichend gewesen wäre, aber da sie eine Tabelle für und die Berechnung eines Wertes von E I erfordert , der die Brücke als homogenen Strahl darstellt, scheinen die Autoren des Eurocodes dies entschieden zu haben Integrieren Sie die Annahme, dass k entlang des Strahls konstant ist, besser erneut .$K$$EI$$k$

Dazu haben sie die folgende Beziehung verwendet:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

Wobei die maximale Auslenkung ist, C eine Konstante ist, die durch die Stützbedingungen vorgegeben wird, w eine konstante gleichmäßig über die Länge des Trägers verteilte Last ist.$\delta_0$$C$$w$

Unter Eigengewicht , wobei g die Erdbeschleunigung ist (9810 mm / s ² ; als Auslenkung in dieser Gleichung wird in mm angegeben ).$w = gm$$g$

Deshalb (neu arrangiert :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Und so:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Allgemeine Werte für und C finden Sie in den Strukturtabellen, zum Beispiel hier bzw. hier .$K$$C$

Für einen einfach gestützten Balken:

15,764K

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ n0= $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Hier ist eine mögliche Antwort.

Ich fand dieses Dokument (nicht sicher der genauen Quelle), das eine verwandte Ableitung enthält:

In einem einfachen harmonischen Bewegungsproblem ist wobeikdie elastische Steifheit undmdie Masse ist, die einer Schwingung ausgesetzt ist.

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Weitere Informationen hierzu enthält Ladislav Frybas Buch "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Wenn Sie Kapitel 4 lesen, sehen Sie Formel 4.53 auf Seite 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Diese Gleichung ergibt sich aus der Formel für die Mittenauslenkung eines einfach abgestützten Trägers, der mit einer gleichmäßig verteilten Last μg belastet wird

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

die in ersetzt wird

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

Wenn man diese Gleichungen mit g = 9,81 m / s ^ 2 ineinander setzt, erhält man

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

Die numerische Auswertung dieser Gleichung ergibt die gewünschte Gleichung.

Dynamik für Ingenieure wie mich, die sich im Allgemeinen mit Statik befassen, kann leicht mit Fehlern und Missverständnissen behaftet sein. Diese Formel ist sehr nützlich für einfach abgestützte Träger, da sie sich schnell auf die aufgebrachten Eigengewichtslasten und einen Anteil der Nutzlast (in der Regel 10%) beziehen lässt, ohne dass Komplikationen auftreten müssen.

Auch Cantilever können eine ähnliche Konstante verwenden (19.8 mit udl, 15.8 mit Endpunktlast). Es bricht alles mit durchgehenden Balken und Rahmen zusammen.

Ich baue einen Eigenfrequenzcheck mit allen Strahldesigns ein, um den Überblick zu behalten. Für Holzkonstruktionen ist beispielsweise 8 Hz das Ziel und für Betonböden / Stahlrahmen 4 bis 6 Hz - als erster Durchgang.

Es gibt auch grobe und fertige Methoden zur Beurteilung dynamischer Reaktionen. Ich muss sagen, Dynamik entzieht sich immer noch und verwirrt mich und wird es immer tun! So bleibe ich so einfach wie möglich.