Ist ein zylindrischer Pylon genauso robust wie ein kubischer Pylon mit dem gleichen Volumen?

Ich frage mich, ob die strukturelle Integrität eines massiven zylindrischen Pylons genauso robust ist wie ein kubischer Pylon mit dem gleichen Volumen, da beide gleich hoch sind.

— 1971chevycamaro
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Ich gehe davon aus, dass beide Pylone aus dem gleichen Material bestehen. Wenn Sie einen zylindrischen Pylon mit der Höhe und dem Volumen der Radius berechnet werden durch . Für den Quader mit einem quadratischen Querschnitt und einer Kantenlänge können wir mit berechnen. . $h$ $V$ $V = hA_{\text{base}} =h\pi r^2 \implies r = \sqrt{\frac{V}{h\pi}}$ $a$ $a$ $V = h A_{\text{base}}=ha^2 \implies a=\sqrt{\frac{V}{h}}$

Je nachdem, was Sie unter robust verstehen, können wir verschiedene Arten von Lasten unterscheiden.

Kurze Zusammenfassung : Kreisförmige Strukturen sind steifer, aber teurer in der Herstellung und manchmal nicht für die Verwendung geeignet (z. B. als Bodenstruktur in Gebäuden, in denen üblicherweise I-Träger verwendet werden). Lesen Sie den Teil unten für eine detailliertere Antwort.

Axiale Belastung (Druck und Zug im elastischen Bereich) : Wie beide Strukturen die gleiche "Festigkeit", da für beide Fälle gleich ist, was impliziert soll das selbe sein. Dies gilt jedoch nur theoretisch, da wir die Auswirkungen der Geometriedifferenzen und der endlichen Länge der Strukturen vernachlässigt haben. $F$ $F=\sigma A_{\text{base}}$ $A_{\text{base}}$ $\sigma$
Torsionslast : In diesem Fall haben wir , wobei das Drehmoment des Torsionswiderstands ist. Für einen kreisförmigen Querschnitt haben wir und für einen quadratischen Querschnitt haben wir . Wenn Sie Sie, dass die Die maximale Scherspannung für die kreisförmige Struktur ist vorzuziehen, da sie geringer ist. In ähnlicher Weise durch Verwendung von , wobei der Schubmodul ist (für beide Fälle gleich) und $T$ $\tau_{\text{max}}=\frac{T}{W_T}$ $W_T$ $W_T=\frac{\pi}{2}r^3$ $W_T=0.208 a^3$ $\frac{τ_{max,r}}{τ_{max,a}} = 2 \cdot 0.208 \sqrt{π} \approx 0.737$ $\frac{\tau_{\text{max,r}}}{\tau_{\text{max,a}}}=2\cdot 0.208 \sqrt{\pi}\approx 0.737$ $\dfrac{d \varphi}{dx}=\frac{T}{GI_T}$ $G$ $I_T$ ist die Torsionskonstante. Das Integral der Ableitung gibt den Rotationsbetrag bei der Länge . und . Betrachte noch einmal den BruchDies impliziert, dass der kreisförmige Querschnitt bei gleicher Torsionslast eine geringere Rotationsauslenkung aufweist . $\dfrac{d \varphi}{dx}$ $x$ $I_{T,r}=\frac{\pi}{2}r^4$ $I_{T,a}=0.141a^4$ $\frac{(d φ / d x)_{r}}{(d φ / d x)_{a}} = \frac{I_{T, a}}{I_{T, r}} = 2 \cdot 0.141 π \approx 0.886.$ $\frac{(d \varphi/dx)_{r}}{(d \varphi/dx)_{a}}=\frac{I_{T,a}}{I_{T,r}}=2\cdot 0.141 \pi\approx 0.886.$ $T$
Sie das Biegemoment . Die Biegelinie kann für Bernoulli-Euler-Strahlen durch Lösen der folgenden DifferentialgleichungFür Kreisquerschnitt und für . Wenn Sie die Differentialgleichung integrieren und Randbedingungen anwenden, können Sie die maximale Biegung / Durchbiegung berechnen. Sie können auch die Spannung aufgrund von die durch Der Bruch von ist gegeben als: $T_y$ $w(x)$ $E I_{y} w^{″} (x) = - T_{y} .$ $EI_yw''(x)=-T_y.$ $I_{y,r}=\frac{\pi}{4}r^4$ $I_{y,a}=\frac{1}{12}a^4$ $T_y$ $σ = \frac{T_{y}}{I_{y}} z_{height in beam cross section} .$ $\sigma = \frac{T_y}{I_y}z_{\text{height in beam cross section}}.$ $\sigma_{r}$ $\sigma_{a}$ $\frac{σ_{r}}{σ_{a}} = \frac{I_{y, r}}{I_{y, a}} = \frac{3}{π} \approx 0.955.$ $\frac{\sigma_r}{\sigma_a}=\frac{I_{y,r}}{I_{y,a}}=\frac{3}{\pi}\approx 0.955.$ Was darauf hinweist, dass die Spannung in der Kreisstruktur günstiger ist.

— MrYouMath
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