Prinzip der virtuellen Arbeit gegen Castiglianos (zweiten) Satz

Ich habe online und in der Literatur nachgesehen, aber ich schien keinen guten Vergleich für die beiden verschiedenen Methoden zu finden. Sie werden beide zur Bestimmung von Verschiebungen und Steigungen (Rotation durch Theta) an einem Punkt in einem Kontinuum verwendet. Ersteres verwendet eine Kraft der virtuellen Einheit, die der Verformungsenergie im Element entspricht (multipliziert mit der Verschiebung des Interesses), und letzteres verwendet eine Differenz in Bezug auf eine virtuelle Kraft, die gegen Null tendiert.

Welches ist effizienter und welches genauer? Warum sollte man Virtual Work gegenüber Castigliano wählen oder umgekehrt?

Kurze Antwort: Castigliano bietet schnelle exakte Lösungen an einigen wichtigen Punkten in einer großen komplexen Struktur, während virtuelle Arbeit nützliche Näherungsmodelle für komplexe Systeme liefert, die sonst unlösbar wären.

Castiglianos Theorem und seine virtuelle Arbeit sind zwei Seiten derselben mathematischen Medaille. Castiglianos Methoden gehen der virtuellen Arbeit voraus, beginnen jedoch mit den Grundprinzipien der virtuellen Arbeit. Es bildet die einfachere Hälfte der virtuellen Arbeit, bei der die Verschiebungen durch lineare Analyse gelöst werden könnten, aber wir verwenden virtuelle Arbeit, um die Antwort schneller zu erhalten. Virtuelle Arbeit wird für die zweite Hälfte beschrieben, in der wir die Verschiebungen nicht mit linearer Analyse lösen konnten (ohne Differentialgleichungen zu lösen und eine Reihe von Koeffizienten einzugeben), und wir verlassen uns stattdessen auf virtuelle Arbeit, um eine gute ungefähre Antwort zu finden, die zu vielen passt die Randbedingungen.

Wie oben erwähnt, besteht das Hauptprinzip bei den meisten Anwendungen, die Ingenieure für die Castigliano-Methode verwenden, darin, das zu verwenden, was aus der linearen elastischen Balken- oder Fachwerktheorie bekannt ist (es kann für diese Strukturen in mehreren Aspekten verwendet werden) und schnell nach einer Struktur zu suchen sehr ungewöhnlichen Kräften ausgesetzt. Eine Gleichung für die Kräfte wird in Form vieler unbekannter Kräfte der statisch bestimmten Struktur geschrieben, und dann werden die unbekannten Kräfte entfernt. Eine der unbekannten (oder ungewöhnlichen, aber bekannten) Kräfte wird angewendet, und die linearen Modelle und Tabellenverwendet für einzelne Kräfte kann uns schnell die tatsächliche Verschiebung an verschiedenen Punkten in der Struktur sagen. Die einzelne Kraft kann zu 500 Newton Kraft an einem Reaktionspunkt pro Newton der ursprünglichen Kraft oder 5 Newton führen. Dies wird aufgezeichnet. Die unbekannte Kraft wird entfernt und eine neue Kraft hinzugefügt und getestet. Sobald alle diese Reaktionen und Kräfte gefunden sind, kann Castiglianos Methode die endgültige Durchbiegung für den gesamten Lastzustand ermitteln, die möglicherweise nicht in einer Tabelle der gelösten Lastzustände enthalten ist. Dies ist besonders nützlich, wenn es elastische Stützen gibt, Stützen, die sich je nach der von ihnen ausgeübten Kraft auslenken, was in jedem realen System der Fall ist. Die einzige Grenze für diesen Ansatz ist die Detailgenauigkeit der Tabellen und das Prinzip der Überlagerung. Solange das System durch Überlagerung behandelt werden kann,

Das Prinzip der virtuellen Arbeit geht über dieses Prinzip hinaus - stattdessen soll einfach eine Gleichung für die Verschiebungen mit unbekannten Koeffizienten geschrieben werden. Es könnte die Lösung für das regierende DE sein, oder es könnte völlig ungenau sein, aber es muss in der Lage sein, alle Randbedingungen aufzulösen (am Punkt A ist die Verschiebung 0 usw.). Bei Trägern ergibt die zweite Ableitung der Verschiebungsgleichung die Momentengleichung, die dritte die Schergleichung. Bei Platten und anderem Kontinuum ist die Verschiebung die Dehnung mal die Länge. Beliebige Spannungsterme können als Steifheitstensor geschrieben werdenmal die Belastung, so dass die gesamte virtuelle Arbeit im Prinzip einfach durch unsere unbekannte Verschiebungsgleichung ausgedrückt werden kann. Daher besteht die Arbeit einfach darin, diese unbekannten Koeffizienten so zu lösen, dass sie die virtuelle Arbeit minimieren (sowohl in Bezug auf die potentielle Energie für statische Systeme als auch in Bezug auf die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie für dynamische Systeme).

Ein Beispiel hierfür wird häufig mit den für die Finite-Elemente-Analyse verwendeten Gleichungen gegeben, bei denen anstelle der normalerweise quartären Verschiebungsgleichungen eine kubische Gleichung für die Verschiebung verwendet wird. Dies liegt daran, dass wir höchstens zwei Freiheitsgrade für Rotationen und zwei Freiheitsgrade für Verschiebungen haben. Wir können also höchstens vier unbekannte Koeffizienten haben - eine kubische Gleichung. Beachten Sie, dass eine FEA dann eine verteilte Last in Punktlasten aufteilen muss, damit die kubische Gleichung die gleichen Auslenkungen wie das ursprüngliche Quartic aufweist. Dies führt dazu, dass einzelne Elemente nicht die gleichen Durchbiegungen in der Mitte der Spannweite aufweisen wie das ursprüngliche Quartic:

Auch ohne Überlagerung gilt das Prinzip der virtuellen Arbeit, solange Ihr Steifheitstensor die Spannungsänderung in Bezug auf die Dehnung berücksichtigt. Dies kann eine unabhängige unbekannte Spannungsgleichung erfordern, die anstelle des Steifheitstensors verwendet wird. Variationen dieser Art werden in vielen Bereichen von den Ingenieuren verwendet, die mathematische Modelle ihrer Systeme erstellen müssen, die die Grundlage für praktisch alle Finite-Elemente-Methoden bilden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Castigliano an einigen wichtigen Punkten in einer großen komplexen Struktur schnelle exakte Lösungen liefert, während die virtuelle Arbeit komplexe Systeme, die sonst unlösbar wären, mit nutzbaren Näherungsmodellen versehen kann.