Umwandlung von orthotropen Materialien

Unter Verwendung der Transformation der Spannungstensoreigenschaft können die Spannungen für transformierte Orientierungen berechnet werden. Die Eigenschaften sind bei Isotropie in alle Richtungen einzigartig. Aber in welchem ​​Fall wird das orthotrope Material transformiert? Wie kann die Transformationsstressmatrix dafür berechnet werden?

Ich nehme an, Sie möchten wissen, wie der in einem kartesischen Koordinatensystem angegebene Spannungstensor in einem anderen kartesischen Koordinatensystem aussieht. Wenn nicht, bitte präzisieren Sie Ihre Frage.

Im Allgemeinen transformieren sich Tensorkoordinaten mit einer orthogonalen Matrix. Wenn Sie also einen Tensor der Ordnung 1 (einen Vektor) mit den Koordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem und eine Transformationsmatrix in ein zweites kartesisches Koordinatensystem haben, dann die Koordinaten von im zweiten kartesischen Koordinatensystem sind (unter der Annahme einer Einstein-Summationskonvention , die normalerweise in der Tensoralgebra angewendet wird).$\underline{a}$$a_i$$\alpha_{ij}$$\underline{a}$$\tilde a_i = \alpha_{ji} a_j$

Für einen Tensor der Ordnung 2 (wie den Spannungstensor) wird jeder Index einzeln transformiert: .$\tilde a_{ij} = \alpha_{mi} \alpha_{nj} a_{mn}$

Anmerkungen:

1. Tensorkoordinaten werden mit der transponierten Matrix transformiert, während Basisvektoren mit der ursprünglichen Matrix transformiert werden: .$\underline{\tilde e}_i = \alpha_{ij} \underline{e}_j$

2. Da die Transformationsmatrix orthogonal ist , ist ihre Inverse identisch mit ihrer transponierten. All dies kann abgeleitet werden. Weitere Informationen finden Sie im Wikipedia-Artikel zu Tensoren .

3. Die orthogonale 3D-Matrix, die die 1,2-Ebene (oder , Ebene) dreht , ist mit dem Drehwinkel .$x$$y$$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$\theta$