Faire und effiziente Allokation von „Familiengütern“

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Betrachten Sie eine Tauschwirtschaft mit zwei Gütern, z. B. Wohnmöbel (x) und Elektrogeräte (y). Das Interessante an diesen Waren ist, dass, wenn eine Familie ein Bündel besitzt, alle Mitglieder der Familie das gleiche Bündel genießen (es ist wie ein "Club gut", aber nur für die Familie).

Es gibt zwei Familien. In jeder Familie gibt es verschiedene Mitglieder mit unterschiedlichen Präferenzen gegenüber Bundles. Angenommen, alle Präferenzen sind monoton ansteigend und streng konvex.

Eine Zuordnung ist ein Bündelpaar für Familie 1 und für Familie 2. $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

Eine Zuordnung wird als neidfrei bezeichnet, wenn:

Alle Mitglieder der Familie 1 glauben, dass mindestens so gut ist wie ; $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
Alle Mitglieder der Familie 2 glauben, dass mindestens so gut ist wie . $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

Eine Zuordnung wird als paretoeffizient bezeichnet, wenn es keine andere Zuordnung von Bündeln zu Familien gibt, die von allen Mitgliedern aller Familien nur schwach bevorzugt wird und von mindestens einem Mitglied einer Familie strikt bevorzugt wird.

Unter welchen Bedingungen gibt es eine Pareto-effiziente, neidfreie Zuteilung?

Wenn jede Familie ein einzelnes Mitglied hat, besteht eine Pareto-effiziente, beneidungsfreie Zuordnung. Dies ist ein berühmter Satz von Varian . Wurde dieser Satz von Individuen auf Familien verallgemeinert?

— Erel Segal-Halevi
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Sehr starke Definition von Neidfreiheit. Man würde vermuten, dass Sie die Präferenzen zuerst irgendwie aggregieren und dann behaupten, dass es keinen Neid nach den aggregierten Präferenzen gibt.

— Giskard

@denesp In der Tat habe ich darüber nachgedacht, Präferenzen zu aggregieren, z. B. mithilfe einer Sozialhilfefunktion. Jede Auswahl einer solchen Funktion wäre jedoch willkürlich und nicht ausreichend motiviert.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Wollen Sie, dass wir auch davon ausgehen, dass der Nutzen jedes Mitglieds jeder Familie in der Menge von

und

ihre Familie erhält, schwach zunimmt ? Wenn ja, habe ich eine sehr unbefriedigende Bedingung für Sie, unter der es eine pareto-effiziente, beneidungsfreie Zuordnung gibt: Angenommen, jedes Familienmitglied hat für jede Familie die gleichen Vorlieben ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@ Shane schwache Monotonie scheint eine vernünftige Annahme. Wenn in jeder Familie alle Mitglieder die gleichen Vorlieben haben, dann ist jede Familie tatsächlich wie ein einzelner Agent. Wir sind also wieder bei der Standardeinstellung ...

— Erel Segal-Halevi

Was ist mit dem Fall, in dem

und

? Unter der Annahme einer schwachen Monotonie muss dies pareto- und neidfrei sein. Von dort aus könnten wir vielleicht ein paar kleine Änderungen am epsilon vornehmen?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Kavallerie

2

Im Moment bin ich mir nicht sicher, ob das Relabeling und damit die Nützlichkeit dieser Antwort gleichwertig sind - siehe Kommentare unten.

Dies ist der Beginn einer Antwort und ein Versuch zu zeigen, wie stark die notwendigen Annahmen sein müssten, um die Existenz zu garantieren.

$i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Jetzt sind wir wieder in der Standardumgebung mit einzelnen Agenten (nicht Familien), aber mit diesen familiären Einschränkungen. Erinnern Sie sich an den Beweis des Varianschen Theorems, den Sie in der Frage verknüpfen. Es nutzt die Existenz eines Wettbewerbsgleichgewichts bei gleichem Einkommen. In diesem Zusammenhang brauchen wir das Bestehen eines Wettbewerbsgleichgewichts bei gleichem Einkommen, bei dem auch die familiären Zwänge erfüllt sind. Dies wird sehr schwer zu tun sein. Nehmen wir zum Beispiel an, und gehören zu einer Familie und $i$ $j$

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

Dies ist der Grund, warum Sie sicherlich eine gewisse Annahme über Präferenzähnlichkeiten in Familien benötigen (zumindest, um eine Version von Varians Beweis zu verwenden). Meiner Meinung nach kann ich, wenn Sie mir einen willkürlich kleinen Unterschied in den Vorlieben zwischen Familienmitgliedern geben, ein Beispiel erstellen, in dem es keine CEEI gibt, in der sie die gleiche Zuordnung wählen. Und dann können Sie zumindest nicht Varians Beweis verwenden.

Zwei Fragen:

Stimmen Sie zu, dass meine Neuformulierung des Problems formal Ihrer entspricht?
Können Sie sich eine Annahme vorstellen, die schwächer ist als die Annahme einer Präferenzhomogenität innerhalb der Familie, die ich mit einem Gegenbeispiel widerlegen kann?

Nachtrag: Denken Sie daran, dass in einem Wettbewerbsgleichgewicht die marginale Substitutionsrate (MRS) jedes Agenten dem Preisverhältnis entspricht. Hier haben meine Agenten konstante und unterschiedliche MRSs, so dass es kein Wettbewerbsgleichgewicht mit einem Preisverhältnis geben kann, das beiden MRSs entspricht. Wenn jeder Agent eine MRS hat, die unterschiedlich ist, können sie möglicherweise beim Gleichgewichtspreisverhältnis gleich sein. Vielleicht könnten Sie mit einer Vorstellung von lokaler Homogenität der familiären Vorlieben davonkommen. Sie müssen jedoch im Wettbewerbsgleichgewicht lokal homogen sein, was genau das ist, was Sie nachweisen möchten. Es wäre also ein bisschen kreisförmig.

Wichtiger Hinweis: Wie bereits erwähnt, gehe ich davon aus, dass die einzige Möglichkeit, die Existenz zu beweisen, darin besteht, wie Varian es über CEEI getan hat. Es mag andere Beweistechniken geben, die diese Probleme umgehen, aber ich vermute nicht.

$i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Wäre dies nicht der Fall, würde sich das Pareto verbessern. Wettbewerbsgleichgewicht entspricht im Wesentlichen den MRS durch das Preisverhältnis, aber Sie müssen diese MRS immer noch gleichsetzen, nur um eine Pareto-effiziente Allokation zu finden. Ich denke, die familiären Zwänge werden dies sehr schwierig machen - es ist nicht schwer, ein Umfeld und familiäre Zwänge zu finden, so dass es kein Pareto-effizientes Gleichgewicht gibt, das diese Zwänge erfüllt. In jedem Fall könnte dies ein weiterer Teilschritt in Richtung einer Antwort sein: Vergessen Sie Neidfreiheit. Versuchen Sie zunächst, eine Annahme über Präferenzen (und möglicherweise über familiäre Einschränkungen) zu treffen, die die Existenz einer Pareto-effizienten Zuordnung garantiert, die familiäre Einschränkungen erfüllt. Dann sorgen Sie sich um Neid.

— Shane
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1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

Ich fand in Varians Originalarbeit: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 Beweise für das Vorhandensein von PEEF-Zuweisungen, die nicht auf CEEI beruhen und daher auch in Situationen gültig sind, in denen eine CEEI nicht existiert (die Präferenzen sind nicht vorhanden) streng konvex). Bisher habe ich diese Beweise nicht verstanden, aber sie könnten relevant sein.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi In Ihrem Beispiel ist jede Zuordnung, bei der beide Agenten streng positive Mengen beider Waren erhalten, ineffizient, nicht wahr? Ich habe Mühe, Ihre Reichweiten zu verstehen. Ganz allgemein stimme ich Ihnen jedoch zu. Ich habe einen zusätzlichen Abschnitt zum direkten Nachweis von PEEFs (ohne CEEI) hinzugefügt. Ich denke nicht, dass Sie es besonders befriedigend finden, aber es ist ungefähr alles, was mir im Moment klar ist.

— Shane

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , nicht 2. Jetzt frage ich die Äquivalenz der Umbenennung. Familien sind nicht nur eine Einschränkung (da die Menschen die gleichen Güter teilen müssen), sondern auch ein Vorteil, da Güter innerhalb der Familie öffentlich sind / geteilt werden.

— Shane

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Angenommen, der Gesamt-Endowment-Vektor von und ist . $X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

Für jede definieren . $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

Überprüfen Sie, ob , dann und ist eine Pareto-effiziente Neid-freie Zuordnung, und andererseits, wenn , dann ist und Pareto-effizienter Neid frei Zuweisung. $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
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min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Alle Mitglieder der Familie U haben eine höhere MRS als alle Mitglieder der Familie V.

— Amit

Ich denke für 2 Familien und lineare Vorlieben kann diese Anforderung entfernt werden. Ich muss noch an den Details arbeiten.

— Erel Segal-Halevi

Ich denke, es wird schwierig sein, diese Anforderung zu beseitigen, da wir eine beneidungsfreie Zuordnung wünschen. Die Bedingungen erscheinen möglicherweise nicht ordentlich, auch wenn sie irgendwie entspannt sind. Dieses Ergebnis gilt jedoch für eine größere Klasse von Dienstprogrammfunktionen. Es wird eine gute Idee sein, das Ergebnis auf Präferenzen anderer Art zu erweitern. Zum Beispiel: Eine Version davon kann auch für Cobb Douglas-Vorlieben bewiesen werden.

— Amit

1

Angenommen, die Präferenzen aller Agenten in allen Familien sind monoton und konvex (die Standardannahmen der Verbrauchertheorie).

Dann gibt es immer dann eine pareto-effiziente, beneidungsfreie Zuordnung, wenn zwei Familien vorhanden sind. Es ist jedoch möglicherweise nicht vorhanden, wenn drei oder mehr Familien vorhanden sind.

Beweise und Beispiele finden Sie in diesem Arbeitspapier .

— Erel Segal-Halevi
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-2

Die Problemstellung scheint zu implizieren, dass X und Y keine Substitute sind (ein elektrisches Gerät kann nicht als Wohnmöbel verwendet werden).

Eine pareto-effiziente, beneidungsfreie Zuordnung liegt vor, wenn:

Für mindestens einen Agenten haben mindestens einige Waren einen negativen Nutzen oder sind Ergänzungen, und Agenten können sich dafür entscheiden, nicht zu konsumieren.

Beispiel:

Die Agenten A und B gehören zur Familie F1.
Die Utility-Funktion von Agent A ist:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

Die Nutzenfunktion von Agent B ist:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Die Agenten C und D gehören zur Familie 2.
Agent C hat eine Utility-Funktion:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

Agent D hat die Utility-Funktion:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Lösung:

F1 bevorzugt (X1, Y1) und Agent A wird beschließen, kein Gut zu konsumieren.

F2 bevorzugt (X2, Y2) und Agent C, der so ausgewählt ist, dass er kein Gut konsumiert.

Dies sind wirklich semantische Argumente und es gibt kein sinnvolles Gleichgewicht ohne die Annahme gemeinsamer Präferenzen.

— DJ Sims
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Könnten Sie vielleicht Ihre Aussagen präzisieren? Was sind zum Beispiel "negative Komplemente"? Und bitte bieten Sie mindestens ein heuristisches Argument an, das die Behauptungen stützt, wenn nicht sogar einen vollständigen Beweis, damit wir Ihre Argumentation verstehen können.

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Bearbeitet die Antwort. Im zweiten Punkt sind Sie richtig. Wenn Agenten zum Konsumieren benötigt werden, gilt das Argument nicht.

— DJ Sims