$$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$$

Vorwort

Diese Frage bezieht sich auf die Elastizität der intertemporalen Substitution und auf die Definition der absoluten Risikoaversion . (Es ist insofern mit dem zweiten verwandt, als die Definition der relativen Risikoaversion durch die Menge motiviert werden kann, die U (C (1-RRA / 2)) = \ E [U (C (1- \ epsilon)) \ mid löst

$$U(C(1-RRA/2)) = \E[U(C(1-\epsilon))\mid C].$$

Frage

In dieser Frage möchte ich wissen, wie die relative Risikoaversion von Epstein-Zin-Präferenzen berechnet werden kann.

Sei eine Verbrauchsfolge gegeben $C=(C_0, C_1,...)$ und sei $C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$ . Angenommen, ich habe Epstein-Sin-Präferenzen:

$$\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*}$$ wobei $f$ der Zeitaggregator und $q$ die Bedingung ist Sicherheit äquivalenter Betreiber. Das heißt, $$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}}$$ und $$q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}.$$ Wie zeige ich, dass der Koeffizient der relativen Risikoaversion $\gamma$ ?

Anmerkungen

Die Anwendung der üblichen Definition der relativen Risikoaversion scheint Sorgfalt zu erfordern. Wenn wir RRA = -c u '' (c) / u '(c) berechnen $RRA = -c u''(c)/u'(c)$würden, müssten wir vorsichtig mit den Zeitindizes auf $c$ . Die Berechnung dieser Ableitungen in Bezug auf $C_t$ würde uns nicht die richtige Antwort geben. Es sollte wahrscheinlich

$$RRA = - C_{t+1} \left . \frac{\partial^2 U_t}{\partial C_{t+1}^2} \middle / \frac{\partial U_t}{\partial C_{t+1}} \right. .$$