Zerstörung in Börsenwirtschaften

Ich lese über Devisenökonomien und bin auf etwas gestoßen, das nicht intuitiv ist.

Wie kommt es, dass in einer Austauschwirtschaft ohne Produktion eine Person sich verbessern kann, indem sie einen Teil ihrer Begabung zerstört? Wenn es keine Produktion gibt, wie ist es auf lange Sicht besser, wenn eine Person einen Teil der verfügbaren Ressource zerstört, wenn diese Ressource nicht ersetzt werden kann usw.?

Kann jemand dies auf einfache Weise veranschaulichen, um bei der Intuition zu helfen?

Ich weiß, dass, wenn es eine Möglichkeit geben könnte, die Zerstörung eines Teils einer Ressource die Preise in die Höhe treiben kann, so dass die verbleibende Menge jetzt wertvoller ist als die ursprüngliche Menge zu ursprünglichen Preisen. Passiert das hier? Wenn ja, warum und wie?

Stellen Sie sich eine Tauschwirtschaft mit zwei Gütern vor $x$ und $y$ und zwei Agenten $A$ und $B$. Die Dienstprogrammfunktionen sind

$$U_A(x_A,y_A) = x_A \cdot y_A, \hskip 20pt U_B(x_B,y_B) = \min(x_B,y_B).$$ Lassen Sie die Anfangsausstattung sein $$\omega_A = (\omega_A^x,\omega_A^y) = (z,0), \hskip 20pt \omega_B = (\omega_B^x,\omega_B^y) = (0,4),$$ wo $0 \leq z \leq 8$wird als Parameter belassen. Im Gleichgewicht $$x_A = \frac{z}{2}, \hskip 20pt y_A = \left(4 - \frac{z}{2}\right), \hskip 20pt x_B = \frac{z}{2}, \hskip 20pt y_B = \frac{z}{2}.$$ (Eine detaillierte Berechnung, die dies zeigt, befindet sich am Ende dieser Antwort.)

Der Nutzen des Agenten $A$ ist

$$U_A\left(\frac{z}{2},4 - \frac{z}{2}\right) = \frac{z}{2} \cdot \left(4 - \frac{z}{2}\right).$$ Das Maximum davon liegt bei $z = 4$. Wenn die anfängliche Ausstattung des Agenten$A$ Ist er größer als 4, hat er einen Anreiz, einen Teil davon zu zerstören, da dies unter der Annahme eines Wettbewerbsgleichgewichts zu einer Verbesserung seines Nutzens führt.

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Wie @Foobar in den Kommentaren hervorhob, konnte ein weiterer Nutzen erzielt werden, indem ein Teil der ursprünglichen Ausstattung nicht zerstört, sondern einfach zurückgehalten wurde. Es gibt zwei Argumente für die Zerstörung:

1. Agent $B$ sieht das Angebot und lehnt das monopolistische Ergebnis ab und besteht auf dem wettbewerbsfähigen Preisverhältnis.

2. Man könnte Agent teilen $A$in mehrere "kleinere" Agenten. Agenten, die die gleichen Nutzenfunktionen und gleichen Anteile an der ursprünglichen Ausstattung hätten. In diesem Fall ist das Zurückhalten eines Teils der Stiftung ein Kartellzug. Es ist nicht individuell rational. Man könnte argumentieren, dass die Zerstörung des „Überschusses“ eine Verpflichtung ist, die für die Koordinierung notwendig ist.

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Im Gleichgewicht entspricht die Gesamtnachfrage dem Gesamtangebot in beiden Märkten.

$$\begin{eqnarray*} x_A + x_B & = & \omega_A^x + \omega_B^x \\ \\ y_A + y_B & = & \omega_A^y + \omega_B^y. \end{eqnarray*}$$ Unser nächster Schritt ist die Ermittlung der Nachfrage. Hier sind die Informationen, die wir aus den Dienstprogrammfunktionen sammeln:

Lassen $y$ der numeraire gut, dh lassen $p_y=1$. Bezeichnen wir den Preis von$x$ einfach nur $p$. Der Wert der ursprünglichen Ausstattung des Agenten$A$ ist $z \cdot p$. Verwenden der Cobb-Douglas-Eigenschaft

$$x_A = \frac{z\cdot p}{2\cdot p} = \frac{z}{2}, \hskip 20pt y_A = \frac{z\cdot p}{2}.$$ Damit haben wir $$\begin{eqnarray*} x_A + x_B & = & \omega_A^x + \omega_B^x \\ \\ \frac{z}{2} + x_B & = & z + 0 \\ \\ x_B & = & \frac{z}{2}. \end{eqnarray*}$$ Es folgt vom Agenten $B$'s Utility-Funktion, die im Gleichgewicht ist $x_B = y_B$. Damit haben wir $$\begin{eqnarray*} y_A + y_B & = & \omega_A^y + \omega_B^y \\ \\ y_A + x_B & = & \omega_A^y + \omega_B^y \\ \\ y_A + \frac{z}{2} & = & 4 \\ \\ y_A & = & 4 - \frac{z}{2}. \end{eqnarray*}$$

Betrachten Sie ein anderes Beispiel:

Stellen Sie sich eine reine Tauschwirtschaft mit zwei Waren X und Y und zwei Verbrauchern A und B vor.

Angenommen, Dienstprogrammfunktionen sind

$$u_A(x_A, y_A) = \min(x_A, y_A)$$ und $$u_B(x_B, y_B) = \min(x_B, y_B)$$

• Szenario 1 :

Ausstattung von A ist

$$\omega_A = (0, 5)$$ und Begabung von B ist $$\omega_B = (10, 0)$$ .

Gleichgewichtspreisvektor $(p_x, p_y)$ und Zuordnung $((x_A, y_A), (x_B, y_B))$ Folgendes erfüllen:

Optimalitätsbedingungen (Die Zuweisung muss das Problem der Nutzenmaximierung der beiden Verbraucher lösen, dh sie muss auf den Nachfragefunktionen liegen.)

• $(x_A, y_A) \in \begin{cases} \left\{\left(\frac{5p_y}{p_x + p_y}, \frac{5p_y}{p_x + p_y}\right)\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y > 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x = 0, y\geq 0\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y = 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x \geq 5, y= 5\right\} & \text{if } p_x = 0 \text{ and } p_y > 0 \end{cases}$
• $(x_B, y_B) \in \begin{cases} \left\{\left(\frac{10p_x}{p_x + p_y}, \frac{10p_y}{p_x + p_y}\right)\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y > 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x = 10, y\geq 10\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y = 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x \geq 0, y= 0\right\} & \text{if } p_x = 0 \text{ and } p_y > 0 \end{cases}$

Machbarkeitsbedingungen

• $x_A + x_B = 10$
• $y_A + y_B = 5$

Klar, jeder Preisvektor $(p_x, p_y)$ befriedigend $p_x = 0$ und $p_y > 0$ unterstützt alle Zuordnungen im Satz $\{((x_A, 5), (x_B, 0))| 5 \leq x_A \leq 10, x_A+x_B = 10 \}$als Gleichgewicht. Der Nutzen von B in all diesen Wettbewerbsgleichgewichten ist 0, und A bekommt alles.

• Szenario 2 :

Angenommen, B zerstört einen Teil seiner Begabung und die überarbeitete Begabung von A ist

$$\omega_A = (0, 5)$$ und Begabung von B ist $$\omega_B = (4, 0)$$ In diesem neuen Problem sind Optimalitätsbedingungen

• $(x_A, y_A) \in \begin{cases} \left\{\left(\frac{5p_y}{p_x + p_y}, \frac{5p_y}{p_x + p_y}\right)\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y > 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x = 0, y\geq 0\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y = 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x \geq 5, y= 5\right\} & \text{if } p_x = 0 \text{ and } p_y > 0 \end{cases}$
• $(x_B, y_B) \in \begin{cases} \left\{\left(\frac{4p_x}{p_x + p_y}, \frac{4p_y}{p_x + p_y}\right)\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y > 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x = 4, y\geq 4\right\} & \text{if } p_x > 0 \text{ and } p_y = 0 \\ \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2_+: x \geq 0, y= 0\right\} & \text{if } p_x = 0 \text{ and } p_y > 0 \end{cases}$

Machbarkeitsbedingungen

• $x_A + x_B = 4$
• $y_A + y_B = 5$

Klar, jeder Preisvektor $(p_x, p_y)$ befriedigend $p_x > 0$ und $p_y = 0$ unterstützt alle Zuordnungen im Satz $\{((0, y_A), (4, y_B))| 4 \leq y_B \leq 5, y_A+y_B = 5 \}$als Gleichgewicht. Jetzt ist der Nutzen von A in all diesen Wettbewerbsgleichgewichten 0 und B bekommt alles. Der Nutzen von B ist im Vergleich zu Szenario 1, in dem sein Nutzen 0 war, auf 4 gestiegen. Dies geschah, weil er einen Teil seiner Begabung zerstört hatte.

Das Ergebnis, dass Zerstörung von Vorteil sein kann, stammt aus einem Artikel von Robert Aumann und Bezalel Peleg, "A Note on Gale's Example", Journal of Mathematical Economics 1 (1974), S. 209-211.