Was ist der Zweck der lokalen Nicht-Sättigungs-Annahme im ersten Wohlfahrtssatz?

Die Gewinnmaximierungsannahme impliziert,

if x_{i} ≻ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} > p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$

Okay, das sagt nur, wenn der Agent das Dienstprogramm maximiert / rational ist, und wenn er kein Bundle auswählt, das seinem Bundle strikt vorzuziehen ist, muss es nicht erschwinglich sein.

Warum muss dann die lokale Nicht-Sättigungs-Annahme gesagt werden?

if x_{i} ⪰ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} \geq p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

Warum ist dies nicht einfach automatisch aus der Annahme der Gewinnmaximierung? Wenn wir , ist es nicht offensichtlich, dass $x_i \succ x_i^* \implies p_ix_i > p_i w_i$ und $x_i = x_i^* \implies p_ix_i = p_i w_i$

if x_{i} ⪰ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} \geq p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

preferences welfare-economics

— Stan Shunpike
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Antworten:

Die Annahmen sind unterschiedlich. Zunächst heißt es, wenn sich ein Bündel besser als das optimale ist, kann sich der Verbraucher es nicht leisten. Das zweite besagt, dass ein Bündel, wenn es so gut (nicht unbedingt besser) als das optimale ist, mindestens genauso viel kosten muss, nicht weniger.

$x$ $U(x) = 0$ $w = 1$

if x_{i} ≻ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} > p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succ x_i^* \text{ then } p_ix_i > p_i w_i$

if x_{i} ⪰ x_{i}^{*} then p_{i} x_{i} \geq p_{i} w_{i}

$\text{if } x_i \succeq x_i^* \text{ then } p_ix_i \geq p_i w_i$

x^{*} = 0

$x^* = 0$

x^{*} ⪰ x^{*} AND p x^{*} < p w .

$x^* \succeq x^* \text{ AND } p x^* < p w.$

— Giskard
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Die Mathematik hilft mir nicht, das zu verstehen. Wie würde die lokale Sättigung verhindern, dass ein Markt einen paretooptimalen Zustand erreicht?

— BT

@BT Du hast deine eigene Frage dazu gepostet, oder?

— Giskard

Nun, ich habe eine Frage zu den Bedingungen gestellt, unter denen das Gleichgewicht garantiert paretooptimal ist. Die Antwort beinhaltet lokale Sättigung als Bedingung, aber die Frage fragte nicht explizit, warum es eine Bedingung war, und diese tut es.

— BT

Ich denke, das Problem ist, dass dieses Beispiel nicht erklärt, was lokale Nicht-Sättigung ist oder warum sie benötigt wird. Vielmehr liefert es ein Beispiel dafür, warum die Maximierung des Nutzens nicht impliziert, dass die zweite Behauptung notwendigerweise wahr ist. Ich hätte es vorgezogen, wenn etwas genau erklärt worden wäre, was die lokale Nicht-Sättigung bietet, um die Situation zu lösen ... was der Titel verlangt. Aber es ist trotzdem ein sehr kluges Beispiel

— Stan Shunpike

@ StanShunpike Es ist bedauerlich, dass - wenn ich Sie jetzt richtig verstehe - der Titel und der Hauptteil der Frage sehr unterschiedlich sind. Es ist auch bedauerlich, dass Sie nicht kommentiert haben, als ich die Frage vor 5 Monaten beantwortete ...

— Giskard

Ok, ich denke, ich könnte jetzt verstehen, warum lokale Nicht-Sättigung wichtig ist, um zu einer pareto-optimalen Marktallokation zu tendieren. Betrachten Sie das folgende Bild, in dem alle Kreise mögliche Zuordnungen darstellen und ihre Position in der Grafik den Nutzen darstellt, den jede Person in einem einfachen Zwei-Personen-Markt erhält:

In diesem Fall geben X, Y, Z und D Person 1 alle den gleichen Nutzen. In einer solchen Situation sind X, Y und Z alle mögliche Gleichgewichte bei vollständigen Märkten und Preisverhalten, obwohl sie nicht paretooptimal sind.

In einer Situation mit lokaler Nicht-Sättigung konnte diese Situation nicht existieren, und somit ist ein paretooptimales Gleichgewicht gewährleistet.

Eine schwache Pareto-Optimalität erfordert keine lokale Nicht-Sättigung.

— BT
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