Wie man zeigt, dass eine homothetische Nutzenfunktion Nachfragefunktionen hat, deren Einkommen linear ist

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Eine homothetische Nutzfunktion ist eine monotone Transformation einer homogenen Nutzfunktion.

Ich werde gebeten zu zeigen, dass, wenn eine Nutzenfunktion homothetisch ist, die zugehörigen Nachfragefunktionen ein lineares Einkommen haben.

Wenn monoton ist und wir es mit einer homogenen Funktion , erhalten wir im Allgemeinen das homothetisch ist, und daher ist das Verhältnis der Ableitungen von in Bezug auf und das gleiche wie das Verhältnis der Ableitungen von zu und da die äußere Funktion aufgehoben wird. Dies bedeutet, dass alle Einkommensexpansionspfade Strahlen vom Ursprung sind und die Steigung der Indifferenzkurven (Pegelsätze) entlang des Einkommensexpansionspfads dieselbe Steigung aufweist. $H$ $g$ $H(g(x,y))$ $H$ $x$ $y$ $g$ $x$ $y$

Meine Frage ist, wie man allgemein zeigt, dass die Nachfragefunktionen im Einkommen linear sind. Wenn Sie nicht über die funktionale Form der Utility-Funktion verfügen, was können Sie dann in die Budgetbeschränkung einsetzen, um oder als Funktionen von Preisen und Einkommen zu lösen ? $x$ $y$

Sie wissen nur, dass das negative Verhältnis der Ableitungen gleich aber Sie können oder nicht durch die Budgetbeschränkung ersetzen, da Sie nur allgemeine partielle Ableitungen haben. $p_1/p_2$ $x$ $y$

Der einzige Weg, den ich mir vorstellen kann, ist die Umkehrung der Ableitung der inneren (homogenen) Funktion g, um nach (oder ) zu lösen . $x$ $y$

microeconomics utility self-study

— MHall
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Hallo, willkommen bei Economics SE. Normalerweise mögen die Leute hier keine direkten Hausaufgaben, ohne dass Hinweise darauf vorliegen, dass sie daran gearbeitet haben, obwohl Sie anscheinend ziemlich verloren sind. Soll dies eine allgemeinere Beweisfrage sein? Wenn ich fragen darf, in welchem Kontext versuchen Sie, diese Frage zu beantworten? Sind Sie in einem Master- oder Doktorandenprogramm?

— Kitsune Kavallerie

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Ich habe dafür gestimmt, diese Hausaufgabenfrage offen zu lassen, weil das OP seine Gedanken zu diesem Thema vorlegt.

— Alecos Papadopoulos

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Ich denke, was Sie brauchen, ist, dass wenn homothetisch ist, und Liebe. $U(x,y)$

\forall α \in R_{+ +}, \forall (x, y) : \frac{\frac{\partial U (x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial U (x, y)}{\partial y}} = \frac{\frac{\partial U (α \cdot x, α \cdot y)}{\partial x}}{\frac{\partial U (α \cdot x, α \cdot y)}{\partial y}}

$\forall \alpha \in \mathbb{R}_{++}, \forall (x,y) : \hskip 6pt \frac{\frac{\partial U(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}} = \frac{\frac{\partial U(\alpha \cdot x,\alpha \cdot y)}{\partial x}}{\frac{\partial U(\alpha \cdot x,\alpha \cdot y)}{\partial y}}$

— Giskard
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Dann sollte es " alles was du brauchst" sein, denke ich.

— Alecos Papadopoulos

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@AlecosPapadopoulos das war mein erster Entwurf, aber da der Beweis nicht vollständig ist, habe ich beschlossen, das "All" abzuschaffen.

— Giskard

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D (p, I) = \arg max U (x) : p x \leq I .

$D(p,I) = \arg\max {U(x):px≤I}.$ Das Problem hat die Lösung daher oder

\arg max_{x} U (x / I) : p x / I \leq 1

$\arg\max_x {U(x/I):px/I≤1}$

x / I = D (p, 1)

$x/I = D(p,1)$

D (p, I) / I = D (p, 1)

$D(p,I)/I = D(p,1)$

D (p, I) = I D (p, 1)

$D(p,I) = ID(p,1)$

— Thijs zehn Raa
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1. Da die Annahme besteht, dass "die Präferenz homothetisch ist", gilt gemäß der genauen Definition U (t x) = t U (x) , wobei U (x) der direkte Nutzen der Waren x und U (x) ist. ist homogen vom ersten Grad. unter der vorherigen Annahme . ( https://en.wikipedia.org/wiki/Homothetic_preferences )

2. Ich muss beweisen, dass x (p, m) auch homogen vom Grad eins in m ist . Wir können es durch Widerspruch beweisen.

Angenommen, x (p, t m) ≠ t x (p, m) und x (p, m) ist die optimale Wahl, die den Nutzen basierend auf der Budgetbeschränkung m maximiert.

Es ist zu bemerken, dass beide Verwendungen x (p, t m) * und t x (p, m) * basierend auf dem Budget t m * machbar sind . Aber x (p, t m) * ist die optimale Wahl, wir können U (x (p, t m)) ＞ U (t x (p, m)) erhalten.

Wir können beide Seiten mit 1 / t multiplizieren , was sich als U (x (p, t m)) / t ＞ U (t x (p, m)) / t herausstellt . Da U (x) in x homogen vom Grad eins ist , können wir 1 / t in U (x) setzen, was U (X (p, t m) / t) ＞ U (t x (p, m) / ist. t) = U (x (p, m)).

Beachten Sie, dass x (p, m) bereits die optimale Wahl ist, basierend auf der Budgetbeschränkung m , aber hier finden wir einen anderen optimalen Verbrauch x (p, t m) / t . Widersprüche.

Also x (p, t m) ＝ t x (p, m). Und x (p, m) ist homogen vom Grad eins in m.

3. Weil die Präferenz homothetisch ist, ist x (p, t m) = t x (p, m), was bedeutet, dass m x (p) = m x (p, 1) = x (p, m) .

Also x (p, m) = m x (p), wobei die Nachfrage die lineare Funktion des Einkommens ist.

Ich entschuldige mich für meine Unhöflichkeit.

— Li.shen
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Diese Antwort verwendet nicht die Tatsache, dass die Utility-Funktion homothetisch ist. Was es heißt ist, dass wenn die Nachfrage im Einkommen linear ist, die Nachfrage im Einkommen linear ist.

— Giskard

Wenn ihr meinen Beweis nicht verstehen könnt, werde ich euch nicht dafür verantwortlich machen. Trotzdem müsst ihr diese Frage auf eure Weise beweisen und alle mit euren Beweisen überzeugen, nicht nur mit einer bekannten, sondern nutzlosen Formel und nichts anderem, was nichts beweisen kann.

— Li.shen

Übrigens, empfehlen Sie ein fortgeschrittenes Lehrbuch zur Mikroökonomie namens Microeconomics Analysis von Hal.Varian. Das ist es, was ihr und eure Professoren wirklich braucht.

— Li.shen

Vielen Dank für Ihre freundlichen Worte weise Li.shen. Ihr neuer Beweis, der sich, wie ich im Bearbeitungsverlauf noch sehen kann, stark von Ihrem alten Beweis unterscheidet, ist größtenteils korrekt. Wenn Sie nur die Weisheit hätten, uns nicht die Schuld zu geben, dass wir dieses Buch überhaupt nicht geschrieben haben. Übrigens. Nicht alle Nutzfunktionen, die homothetische Präferenzen darstellen, sind vom ersten Grad homogen. Alle homothetischen Präferenzen haben eine Gebrauchsrepräsentation, die vom ersten Grad homogen ist, aber es gibt auch andere Repräsentationen.

— Giskard