Intuitive Erklärung von

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Kann jemand intuitiv erklären, warum die Slutsky-Matrix rechts multipliziert mit dem Preisvektor eine Nullmatrix ergibt?

Ich weiß, dass dies wahr ist, aber ich verstehe nicht wirklich, warum es wahr ist. Kann hier jemand helfen?

microeconomics

— Mikrohilfe
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Dies ist eine allgemeine mathematische Eigenschaft der zweiten Ableitung / Hessischen Matrix von multivariaten Funktionen, die homogen von Grad Eins sind.

Die Ausgabenfunktion ist in Bezug auf die Preise der ersten Stufe homogen. Warum? Wenn sich alle Preise im gleichen Verhältnis ändern (so prüfen wir die mathematische Eigenschaft der Homogenität), ändern sich die relativen Preise nicht. Wenn die relativen Preise die quantitative Zusammensetzung der Minimalkosten kompensiert Konsumbündel , um nicht ändern, zu erreichen , ein bestimmtes Dienstprogramm nicht ändert überhaupt . Dann, da alle Preise um den gleichen Anteil gestiegen sind, bleiben die Budgetanteile gleich, und die Ausgaben, die erforderlich sind, um den gleichen Nutzen zu erzielen, steigen in demselben Verhältnis: Homogenität von Grad eins. $E$

Durch die Zweiheit ist die Nachfrage Hicks'schen Vektor der Gradient der Ausgabenfunktion, . $H = \nabla_p E$

Der Hicksianische Nachfragevektor gibt uns die erforderlichen Mindestkostenmengen. Aufgrund der Homogenität des ersten Grades der Ausgabenfunktion ist das innere Produkt des Hicksianischen Nachfragevektors multipliziert mit dem Preisvektor gleich der Ausgabenfunktion. Dies sollte auch intuitiv sein: Wir multiplizieren einfach jede angeforderte Menge mit dem Einheitspreis, der dafür gezahlt werden muss, und summieren diese Produkte zu den Gesamtausgaben, die uns entstehen müssen, um das Bündel mit den niedrigsten Kosten für einen bestimmten Nutzen zu erhalten.

Wir haben also (Vereinfachung der Differenzierungsnotation) und gleichzeitig $E = H\cdot p$ . Deshalb auch $\frac {\partial}{\partial p}E = H$

\frac{\partial}{\partial p} (H \cdot p) = H ⟹ H + \frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = H

$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$

und es muss so sein

\frac{\partial H}{\partial p} \cdot p = 0

$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$

Der Hicks'sche Nachfragevektor ist also in Preisen homogen vom Grad Null (mathematisch ist dies eine Konsequenz von Eulers Theorem für homogene Funktionen, dh wenn eine Funktion mit dem Homogenitätsgrad homogen ist , hat ihr Gradient den Homogenitätsgrad ). $k$ $k-1$

Aber die 1. Ableitung (Jacobi) der Hicksschen Nachfrage (die hessische Matrix der zweiten Ableitungen der Ausgabenfunktion) ist die Slutsky-Matrix, . So $\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$ . $S(w,p) \cdot p = 0$

Das Ergebnis ergibt sich also aus der Homogenität des ersten Grades der Ausgabenfunktion. Gibt es eine intuitive Erklärung, analog zur Intuition hinter der Homogenität von Grad eins der Ausgabenfunktion? Ersteres kommt direkt von Letzterem, so dass es schwierig ist, ein "separates" intuitives Argument zu finden. Man könnte informell sagen, dass die nachgefragten Ausgleichsmengen "unabhängig" von (nicht von) Preisschwankungen sind, wenn die relativen Preise gleich bleiben. Geometrisch bedeutet dies dann, dass die Vektoren der Änderungsraten der geforderten kompensierten Größen (die in jeder Zeile der Slutsky-Matrix enthalten sind) orthogonal zum Preisvektor sind.

— Alecos Papadopoulos
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Beeindruckend. Das ist eine fantastische Antwort.

— 123

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Ich weiß nicht, ob Sie dies als Erklärung oder vielmehr als Beweis ansehen werden.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ $p^\ast$ $\delta$

f (p^{*} + δ) ≃ f (p^{*}) + δ \times {\frac{d f}{d p} |}_{p = p^{*}}

$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

h_{ich} (p^{*} + δ) ≃ h_{ich} (p^{*}) + {\frac{\partial h_{ich} (p)}{\partial p_{1}} δ_{1} |}_{p = p^{*}} + \dots + {\frac{\partial h_{ich} (p)}{\partial p_{n}} δ_{n} |}_{p = p^{*}}

$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$

$\mathbf{p^\ast}$ $\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$ ${p_j^\ast}$ $\Delta \times {p_j^\ast}$ $h_i$ $\delta$ $\Delta \mathbf{p^\ast}$ $S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Anders ausgedrückt: Da die hicksianische Nachfrage nach Waren nicht auf eine Preisänderung reagiert, bei der die relativen Preise gleich bleiben, sollten wir bei Betrachtung der Summe der einzelnen Auswirkungen dieser Preisänderungen auf eine Ware Folgendes beobachten: a 0 ändern.

— Ramazan
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$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$ $D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$ $p'x(p,w)=w$ $x(p,w)'p=w$ $S(p,w)p=0$

— user157623
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