Log-Normalitätsannahme bei der verbrauchsabhängigen Asset-Preisgestaltung

Betrachten Sie ein sehr grundlegendes Problem der zeitdiskreten repräsentativen Verbrauchermaximierung mit dem CRRA-Dienstprogramm. Es gibt einen riskanten Vermögenswert mit der Zeit Preis , der die Zeit Dividende zahlt , und einen risikolosen Vermögenswert mit dem Preis , der eine konstante Auszahlung 1 bei zahlt . Wir nehmen an, dass die Dividenden eine Folge von Zufallsvariablen sind, die einem Markov-Prozess folgen. Nehmen wir weiter an, dass der Verbraucher keine anderen Einkommensströme hat (dh ). Zum Zeitpunkt t investiert der Verbraucher den Betrag in den riskanten Vermögenswert und den Betrag in den risikolosen Vermögenswert. Daher kann das Maximierungsproblem wie folgt angegeben werden $t$ $p_t$ $t+1$ $d_{t+1}$ $p_t^f$ $t+1$ $y_t = 0 \ \forall t$ $\pi_t$ $\pi_t^0$

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π {}}}_{0}^{\infty}} {E.}_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - - γ} - - 1}{1 - - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - - 1} + π_{t - - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Angenommen, wir möchten die risikolose Gleichgewichtsrate und die erwartete Eigenkapitalprämie ermitteln. Um das Modell zu schließen, wird häufig angenommen (siehe z. B. Claus Munks Buch Financial Asset Pricing Theory, Kapitel 8.3), dass das Wachstum des Log-Verbrauchs und die log-riskanten Bruttorenditen gemeinsam normal verteilt sind. Dh

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{G}}_{t + 1} \sim N. (μ_{G}, σ_{G}^{2}) \\ l n {R.}_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N. (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

wobei Bruttorenditen definiert sind als

{R.}_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

Was ich nicht ganz verstehe, ist, woher die logarithmischen Normalverteilungsannahmen "kommen". Ich weiß, dass der Verbrauch des Agenten der Gesamtdividende in der Wirtschaft entsprechen muss, da dies eine repräsentative Agentenwirtschaft ist. Da wir jedoch davon ausgegangen sind, dass es kein Einkommen gibt, , ist der einzige exogene Dividendenprozess in der Wirtschaft und sollte daher die gleiche Verteilung wie das Konsumwachstum haben. Mein Eindruck ist jedoch, dass wenn wir sagen, dass die riskante Rate eine logarithmische Normalverteilung aufweist, dies tatsächlich den Dividendenprozess bedeutet, da dies der „zufällige Teil“ bei der Definition der Rendite ist (Preis $y_t = 0 \ \forall t$ $d_t$ $p_{t+1}$ ist nicht exogen, sondern wird innerhalb des Modells bestimmt). Mir scheint jetzt, dass wir zwei verschiedene Annahmen über den gleichen Stiftungsprozess . Woher kommt die Annahme für den Konsum oder wofür steht sie? Wie würde sich die Situation ändern, wenn der Verbraucher einen Einkommensstrom ? $d_t$ $y_t > 0$

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
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Antworten:

Der typische Zwei-Perioden-Lagrange ist

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - - γ} - - 1}{1 - - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - - 1} + π_{t - - 1}^{0} - - c_{t} - - π_{t} p_{t} - - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - - γ} - - 1}{1 - - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - - c_{t + 1} - - π_{t + 1} p_{t + 1} - - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}]])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

Die Bedingungen erster Ordnung in Bezug auf sind $c_t, \pi_t$

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- - γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

und so unter Verwendung auch der Definition der Bruttorendite,

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln {R.}_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

Wenn wir und kombinieren, erhalten wir $(1)$ $(3)$

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln {R.}_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Wir sehen also, dass das Konsumwachstum auf dem optimalen Weg eine direkte affine Funktion der logarithmischen Risikorenditen ist. Dies impliziert unter anderem, dass ihr Korrelationskoeffizient gleich Eins ist.

Die Normalverteilung wird bei affinen Transformationen geschlossen (alternativ bei Skalierung und Verschiebung). Wenn wir also davon ausgehen, dass logarithmisch riskante Renditen normal verteilt sind, ist auch das Konsumwachstum normal verteilt (natürlich mit unterschiedlichem Mittelwert und unterschiedlicher Varianz).

Beachten Sie, dass , obwohl in der Regel die gemeinsame Normalitätsannahme ist ein zusätzlicher eine vorgenommen werden , wenn zwei normale Zufallsvariablen sind nicht unabhängig, da die Tatsache , dass der eine eine affine Funktion der anderen Garantien gemeinsame Normalität. Nach Cramers Bedingung für die bivariate Normalität muss es so sein, dass alle linearen Kombinationen zweier normaler Zufallsvariablen eine univariate Normalverteilung haben. In unserem Fall haben wir (generische Notation) die zufällige Variable und die Zufallsvariable . Erwägen $Y$ $X = a+bY$

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

Für jedes (mit Ausnahme des a priori ausgeschlossenen Nullvektors) folgt einer Normalverteilung, wenn tut. Es reicht also aus anzunehmen, dass die Log-Risiko-Renditen einer Normalverteilung folgen, um auch eine gemeinsame Normalität zu erzielen. $(\delta_1, \delta_2)$ $\delta_1X + \delta_2 Y$ $Y$

— Alecos Papadopoulos
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Dies ist eine alte Antwort, aber wie gesagt, diese Antwort ist falsch. Sie müssen vorsichtig sein, wenn Sie Lagrange-Multiplikatoren in Gegenwart stochastischer Elemente verwenden. Wenn Sie die Berechnung ordnungsgemäß durchführen, erhalten Sie nur die Standard-Asset-Pricing-Gleichung - bei Ihrer Berechnung verlieren Sie die Erwartung, weil Sie bei Ihrer Optimierung nicht vorsichtig sind. (Eine andere Art, dies zu sagen, ist, dass das Optimierungsproblem Einschränkungen anstelle von , wobei die Anzahl möglicher Naturzustände in Periode .)

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$

s + 1

$s+1$

2

$2$

s

$s$

t + 1

$t+1$

— Starfall

@ Starfall Danke für die Eingabe. Alt oder nicht, fehlerhafte Inhalte müssen korrigiert werden. Ich werde die Antwort noch einmal überprüfen und sehen, was ich tun kann. Auf den ersten Blick denke ich, dass Sie meinen, dass die Kovarianz zwischen dem Multiplikator und den Begriffen ignoriert wurde.

t + 1

$t+1$

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$

— Alecos Papadopoulos

Es ist nicht nur die Kovarianz, die ignoriert wurde - wenn dies das einzige Problem gewesen wäre, hätten Sie , mit dem nur der erwartete Wert des Abzinsungsfaktors in Beziehung steht erwartete Renditen, während Ihre Antwort ergibt, eine Ex-post-Beziehung zwischen dem Abzinsungsfaktor und den Renditen, die in jedem Naturzustand gilt. Das Problem ist einfach, dass Sie keine Lagrange-Multiplikatoren mit stochastischen Variablen verwenden können, ohne die verschiedenen Naturzustände des Problems explizit zu beschreiben.

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$

m R = 1

$mR = 1$

— Starfall

Falls die Terminologie unklar ist, ist , in diesem Problem .

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$

— Starfall

@ Starfall hmm ... das Problem hier sind die tatsächlich verfolgten Distributionen, nicht die Ex-ante-Lösung ... Ich werde es später durchdenken und näher erläutern.

— Alecos Papadopoulos

Ich habe kürzlich ein Papier erstellt, das die Verteilung der Renditen für alle Aktiv- und Passivklassen ableitet. Die logarithmische normale Rückgabe wird nur in zwei Fällen angezeigt. Die erste betrifft Discount-Anleihen mit einer Periode, die zweite mit Cash-for-Stock-Fusionen. Ich glaube, Boness geht ursprünglich davon aus, das Problem der unendlich negativen Preise in Markowitz zu beseitigen. Obwohl es logisch abgeleitet wurde, hat es eine kritische Annahme, die es im Allgemeinen unwahr macht.

Die meisten Finanzmodelle gehen davon aus, dass die Parameter mit der Wahrscheinlichkeit eins bekannt sind. Sie müssen mit schätzen, da davon ausgegangen wird, dass es bekannt ist. An der Oberfläche ist dies kein Problem, da dies die allgemeine Methodik von auf Nullhypothesen basierenden Methoden ist. Sie behaupten, dass eine Null wahr ist und daher die Parameter bekannt sind und ein Test gegen diese Null durchgeführt wird. $\mu$ $\bar{x}$

Die Schwierigkeit tritt auf, wenn die Parameter nicht bekannt sind. Es stellt sich heraus, dass der Beweis im Allgemeinen ohne diese Annahme zusammenbricht. Gleiches gilt für Black-Scholes. Ich präsentiere auf der SWFA-Konferenz in diesem Frühjahr ein Papier, in dem ich argumentiere, dass es keinen Schätzer geben kann, der gegen den Populationsparameter konvergiert, wenn die Annahmen der Black-Scholes-Formel buchstäblich zutreffen. Jeder nahm nur an, dass die Formel unter perfektem Wissen dem Parameterschätzer entsprach. Niemand hat jemals seine Eigenschaften überprüft. In ihrer ersten Arbeit haben Black und Scholes ihre Formel empirisch getestet und berichtet, dass sie nicht funktioniert hat. Sobald Sie die Annahme fallen lassen, dass die Parameter bekannt sind, wird die Mathematik anders ausgeführt. Anders genug, um nicht auf die gleiche Weise darüber nachdenken zu können.

Betrachten wir einen Fall eines an der NYSE gehandelten Aktienpapiers. Es wird in einer Doppelauktion gehandelt, so dass der Fluch des Gewinners nicht erhalten wird. Aus diesem Grund besteht das rationale Verhalten darin, eine Limit-Order zu erstellen, deren Preis . Es gibt viele Käufer und Verkäufer, daher sollte das Limitbuch statisch normal sein, oder zumindest wird es so, wenn die Anzahl der Käufer und Verkäufer unendlich wird. So ist statisch normale etwa , der Gleichgewichtspreis. $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ $p_t$ $p_t^*$

Natürlich haben wir die Verteilung von ignoriert . Wenn Sie Splits und Aktiendividenden ignorieren, besteht diese entweder weiterhin oder nicht. Sie müssen also eine Mischungsverteilung für Aktienrenditen, Bargeldrenditen und Insolvenzen erstellen. Wir werden diese Fälle der Einfachheit halber ignorieren, obwohl dies die Möglichkeit der Lösung eines Optionspreismodells ausschließt. $(q_t,q_{t+1})$

Wenn wir uns also auf und alle Dividenden wegnehmen, ist unsere Rendite das Verhältnis zweier Normalen zum Gleichgewicht. Ich schließe Dividenden aus, weil sie ein Chaos verursachen, und ich schließe Fälle wie die Finanzkrise von 2008 aus, weil Sie ein seltsames Ergebnis erhalten, das Seite für Seite Text verbraucht. $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

Vereinfachen Sie nun unsere Ableitung, wenn wir unsere Daten von nach und Wir können die Verteilung leicht sehen. In Ermangelung einer Beschränkung der Verbindlichkeiten oder einer intertemporalen Budgetbeschränkung muss nach dem bekannten Theorem die Renditedichte die Cauchy-Verteilung sein, die weder einen Mittelwert noch eine Varianz aufweist. Wenn Sie alles zurück in den übersetzen, wird die Dichte zu $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ $(0,0)$ $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Da es keinen Mittelwert gibt, können Sie keine Erwartungen annehmen, keinen F-Test durchführen oder irgendeine Form von kleinsten Quadraten verwenden. Natürlich wäre das anders, wenn es stattdessen eine Antiquität wäre.

Wenn es sich bei einer Auktion um eine Antiquität handelt, erhält der Fluch des Gewinners. Der Höchstbietende gewinnt das Gebot und die Grenzdichte der Höchstgebote ist die Gumbel-Verteilung. Sie würden also das gleiche Problem lösen, jedoch als Verhältnis von zwei Gumbel-Verteilungen anstelle von zwei Normalverteilungen.

Das Problem ist eigentlich nicht so einfach. Die Haftungsbeschränkung schneidet alle zugrunde liegenden Ausschüttungen ab. Die intertemporale Budgetbeschränkung verzerrt alle zugrunde liegenden Verteilungen. Es gibt eine andere Verteilung für Dividenden, Fusionen für Bargeld, Fusionen für Aktien oder Immobilien, Insolvenz und eine verkürzte Cauchy-Verteilung für Unternehmensfortschritte wie oben. Es gibt sechs Arten von Ausschüttungen für Aktien in einer Mischung.

Unterschiedliche Märkte mit unterschiedlichen Regeln und unterschiedlichen Existenzzuständen erzeugen unterschiedliche Verteilungen. Eine antike Vase hat den Fall, in dem sie fallen gelassen wird und zerbricht. Es kommt auch zu Verschleiß oder einer anderen Änderung der Eigenqualität. Schließlich hat es auch den Fall, dass sich das Zentrum des Ortes bewegt, wenn genügend ähnliche Vasen zerstört werden.

Schließlich gibt es aufgrund der Kürzung und des Fehlens einer ausreichenden Statistik für die Parameter keinen berechenbaren und zulässigen nicht-Bayes'schen Schätzer.

Eine Ableitung des Verhältnisses zweier normaler Variablen und eine Erklärung finden Sie unter http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Sie finden auch das erste Papier zu diesem Thema unter

Curtiss, JH (1941) Zur Verteilung des Quotienten zweier Zufallsvariablen. Annals of Mathematical Statistics, 12, 409-421.

Es gibt auch ein Folgepapier bei

Gurland, J. (1948) Inversionsformeln für die Verteilung von Verhältnissen. The Annals of Mathematical Statistics, 19, 228-237

Für die autoregressive Form für Likelihoodist- und Frequentist-Methoden unter

White, JS (1958) Die begrenzende Verteilung des seriellen Korrelationskoeffizienten im explosiven Fall. Die Annalen der mathematischen Statistik, 29, 1188-1197,

und seine Verallgemeinerung durch Rao bei

Rao, MM (1961) Konsistenz- und Grenzverteilungen von Schätzern von Parametern in explosiven stochastischen Differenzgleichungen. The Annals of Mathematical Statistics, 32, 195-218

Mein Papier verwendet diese vier und andere Papiere, wie ein Papier von Koopman und eines von Jaynes, um die Verteilungen zu konstruieren, wenn die wahren Parameter unbekannt sind. Es wird festgestellt, dass das obige Weißbuch eine Bayes'sche Interpretation hat und eine Bayes'sche Lösung zulässt, obwohl keine nicht-Bayes'sche Lösung existiert.

Beachten Sie, dass einen endlichen Mittelwert und eine endliche Varianz hat, aber keine Kovarianzstruktur. Die Verteilung ist die hyperbolische Sekantenverteilung. Dies ist auch auf ein bekanntes Ergebnis in der Statistik zurückzuführen. Aufgrund der Nebenfälle wie Insolvenz, Fusionen und Dividenden kann es sich nicht wirklich um eine hyperbolische Sekantenverteilung handeln. Die existenziellen Fälle sind additiv, aber das Protokoll impliziert multiplikative Fehler. $\log(R)$

Einen Artikel zur hyperbolischen Sekantenverteilung finden Sie unter

Ding, P. (2014) Drei Vorkommen der hyperbolisch-sekanten Verteilung. The American Statistician, 68, 32-35

Mein Artikel ist bei

Harris, D. (2017) Die Verteilung der Renditen. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804

Bevor Sie meine lesen, sollten Sie zuerst die obigen vier Artikel lesen. Es würde auch nicht schaden, auch ET Jaynes Band zu lesen. Es ist leider eine polemische Arbeit, aber es ist trotzdem streng. Sein Buch ist:

Jaynes, ET (2003) Wahrscheinlichkeitstheorie: Die Sprache der Wissenschaft. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207

— Dave Harris
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