Sind monotone und kontinuierliche Präferenzen notwendig rational?

$\succsim$$X=\mathbb{R}^{n}$

Wird die Rationalität von durch diese Bedingungen impliziert?$\succsim$

Ich denke, Transitivität wird durch Kontinuität impliziert. Die Vollständigkeit ist jedoch besorgniserregend, da es Elemente , die nicht in Bezug auf oder geordnet werden können , und wir daher die Monotonie nicht verwenden können, um zu , dass vollständig ist.$x,y \in X$$\leq$$\geq$$\succsim$

Ich habe mir überlegt, eine Folge mit so zu konstruieren, dass und entweder oder . Dann könnten wir durch Transitivität und Kontinuität zeigen, dass und in Bezug auf , aber ich glaube nicht, dass es möglich ist, eine solche Sequenz zu konstruieren.$x_{n}$$x_{1}=x$$x_{n} \to y$$x_{n}\succsim x_{n+1}$$x_{n+1} \succsim x_{n}$$x$$y$$\succsim$

Jede Hilfe wäre dankbar, aber bitte geben Sie Hinweise und nicht vollständige Lösungen.

Sie sich eine Präferenzrelation in so vor, dass und . x=( x 1 , x 2 )≿( y 1 , y 2 )=$\mathbb{R}^2$$x=(x_1,x_2)\succsim (y_1,y_2)=y$ $\iff$ x 2 ≥ y $x_1\geq y_1$$x_2\geq y_2$

1) Sie möchten vielleicht darüber streiten, ob diese Präferenzbeziehung streng monoton und stetig ist.

2) Ist die oben definierte Beziehung vollständig?

Als Beilage könnten Sie dann auch Ihre Behauptung überdenken, dass Kontinuität die Ursache für Transitivität ist.

Anmerkung: Ich habe gerade dieses besondere geschrieben, um ein Gedankenexperiment zu erstellen. Mehr, um Ihr Verständnis herauszufordern. Ich bin nicht sicher, ob dieses Beispiel eine Antwort auf Ihre Frage liefert oder nicht.

Die Frage ist, ob Rationalität durch Kontinuität und Monotonie impliziert wird. Um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist, würde ein Gegenbeispiel ausreichen. Wir suchen daher eine intransitive, unvollständige, monotone, kontinuierliche Präferenzbeziehung.

Angenommen, . Wir bilden also Präferenzen gegenüber Punkten einer Linie von bis . Betrachten Sie die Präferenzrelation, die durch was ansonsten unvollständig ist.( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ≻ ( .5 , .5 ) ≻ ( 0 , 1 ) ≻ ( 1 , 0 $X=\{x\geq 0,y\geq 0:x+y=1\}$$(0,1)$$(1,0)$$(1,0) \succ (.5,.5) \succ (0,1) \succ (1,0)$

Rationalität

Rationalität besteht aus Vollständigkeit und Transitivität der Präferenzbeziehung, die wie folgt definiert ist:

Vollständigkeit

Eine Präferenz Beziehung abgeschlossen ist , wenn für alle , haben wir , , oder beides.x ≿ y y ≿ $x,y \in X$$x\succsim y$$y\succsim x$

$(.5,.5)\not \succsim (.5,.5)$ , daher ist die Präferenzbeziehung nicht vollständig.

Transitivität

Eine Präferenzbeziehung ist transitiv, wenn und implizieren .y ≿ z x ≿ $x\succsim y$$y \succsim z$$x\succsim z$

( 0,5 , 0,5 ) ≿ ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ≿ ̸ ( 0 , 1 $(1,0)\succsim (.5,.5)$ und gelten aber , also die Präferenzrelation ist nicht transitiv.$(.5,.5) \succsim (0,1)$$(1,0)\not \succsim (0,1)$

Kontinuität

Eine Präferenz Beziehung ist kontinuierlich , wenn für alle Sequenzen konvergierenden zu mit haben wir . (x,y)∀i: x i ≿ y i x≿${(x_i,y_i)}_{i=1}^{\infty}$$(x,y)$$\forall i: x_i \succsim y_i$$x \succsim y$

Die Präferenzbeziehung verletzt die Kontinuität nicht. Man betrachte eine Folge die gegen konvergiert . Diese Folgen können nur so sein, dass und und , da alle anderen entweder nicht zu konvergieren oder nicht erfüllen . Aber klar, wenn dann . x , y x i = x y i = y x ≠ y x i , y i x , y x i ≿ y i x i ≿ y i x ≿ $x_i \succsim y_i$$x,y$$x_i=x$$y_i=y$$x\neq y$$x_i,y_i$$x,y$$x_i \succsim y_i$$x_i\succsim y_i$$x\succsim y$

Monotonie

Eine Präferenzbeziehung ist monoton, wenn impliziert .x ≿ $x \geq y$$x \succsim y$

Die Relation betrachtet alle Elemente von unvergleichbar, daher ist die Präferenzrelation monoton.$\geq$$X$

Wir haben also eine intransitive, unvollständige, monotone, kontinuierliche Präferenzbeziehung.

Transitivität der Präferenzen spricht einige „intuitive“ Begriff der „Konsistenz des menschlichen Geistes“ , und es kann argumentiert werden , dass Ausnahmen die „Ausnahmen von der sind Regel “, und so wir tun eine angemessene abstrakte Regel haben.

Im Vergleich ist Vollständigkeit eher ein "Glaubenssprung". Es hängt in der Luft, stammt aus dem Nichts und hängt mit dem Nichts zusammen ( daher lautet die Antwort auf Ihre Frage "Nein" ). Vielleicht kann es durch eine vulgäre Bemerkung gestützt werden, dass "wenn Sie eine Person genug drücken , dann wird sie irgendwann ein Paar bestellen, das Sie vor sich haben, selbst wenn Sie nur Sie loswerden", aber natürlich dies, während Sie schauen gut in der Praxis, wird in der Theorie nie funktionieren.

Wir definieren also nur Vollständigkeit als existierend ... warum? Um eher unüberschaubare Probleme zu vermeiden . Wie nützlich wird es sein, mit unvollständigen Einstellungen zu arbeiten? Wie nützlich wäre es zu sagen: "Ich habe dieses Modell, es kann sich ergeben, es kann sich nicht ergeben, je nachdem, ob die Einstellungen vollständig sind oder nicht" ... wozu dient es? Wir wären dann gezwungen, eine alternative Entscheidungsregel zu finden: "Unter der Annahme, dass die Präferenzen nicht vollständig sind, trifft die Person dann auf ein Paar, das sie nicht bestellen kann ..." - was macht sie ? Eine Münze werfen? Aber dies würde "Unvollständigkeit" gleichbedeutend mit Gleichgültigkeit machen ...

Was sonst? Dieser Gedankengang mag sehr anregend sein, ist aber auch sehr herausfordernd und sicherlich wegweisend, wenn tatsächlich ein solcher Weg existiert oder geschaffen werden kann. (Meiner Meinung nach versuchen verschiedene theoretische Untersuchungen der "Fuzzy" -Sorte, einen "Mittelweg" für genau dieses Problem zu finden. Sie betrachten eine Situation, in der die Person weder vollständige Vorlieben hat, noch in einer "schwierigen" Situation vollständig "eingefroren" ist "Paar kommt hoch).