OLS-Bias bei der Nachfrageschätzung: Der Bias unterschätzt immer die Elastizität der Nachfrage?

10

Einige Artikel argumentieren, dass OLS abhängig von der Qualität Ihrer Instrumente weniger Verzerrungen als IV-Schätzungen hervorrufen kann. Angenommen, wir betrachten eine Bedarfsschätzungsgleichung.

Angenommen, die Nachfrageelastizität ist bei OLS negativ. Nach meiner Intuition sollten schwache Instrumente zu voreingenommenen Schätzungen gegenüber OLS führen, aber nicht weniger negativ. Könnt ihr ein Beispiel produzieren? Ich kann nicht wirklich verstehen, wie dies zu einer voreingenommeneren Schätzung mit IV-Schätzung führen könnte.

econometrics

— John Doe
quelle

IV ist voreingenommen, aber konsequent, daher stelle ich mir vor, dass Ihre Aussage wahr ist. aber ich nehme an, dass alles von Ihren Zielen abhängt. Vorhersage gegen Inferenz.

— Benutzer157623

Auf welche "einige Artikel" (vorzugsweise bekannte oder beleuchtete Rezension) beziehen Sie sich in Ihrem ersten Satz? Ich bin daran interessiert, sie anzuschauen. Vielen Dank.

— Kim Jong Un

8

Normalerweise ist . Der Nenner geht auf Null. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Dies gilt nur, wenn eine Korrelation zwischen dem Instrument und dem Fehlerterm besteht und der Nominator die Stärke der Beziehung zwischen dem Instrument und der endogenen Variablen ist. Je kleiner der Nenner wird, desto größer ist die Vorspannung . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

Außerdem hat ein schwaches Instrument keine Präzision, so dass die Varianz eine große Aufwärtsneigung aufweist.

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{x}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{I V}} & = & \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) y_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}} & = & v a r (\frac{\sum (z_{i} - \bar{z}) u_{i}}{\sum (z_{i} - \bar{z}) x_{i}}) \\ v a r (u | z) & = & σ^{2} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{i} - \bar{z}) (x_{i} - \bar{x})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

$n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z x}^{2}} \\ v a r (\hat{β_{1}^{I V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{x}^{2}} \frac{1}{ρ_{x z}^{2}} \\ ρ_{x z}^{2} & = & \frac{[σ_{x z}^{2}]^{2}}{σ_{x}^{2} σ_{z}^{2}} for ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

Wenn Ihr Instrument schwach ist, ist es daher möglicherweise besser, eine OLS-Regression durchzuführen.

— Nox
quelle

In der Gleichung für die erste Varianz des IV-Schätzers glaube ich, dass die Varianz des unverzerrten Beta fehlt - richtig? Sie weisen die Varianz nur dem Teil zu, der mit der Verzerrung des IV-Schätzers zusammenhängt. Wenn ich falsch liege, erklären Sie mir bitte, was mir fehlt.

— John Doe

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

6

$\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$ klein ist, dann kann die Vorspannung groß sein. Siehe die Bemerkung von Bound, Jaeger und Baker (1995, JASA) nach Gleichung (7) auf Seite 444.

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

$x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Ohne instrumentelle Endogenität denke ich nicht, dass die Verzerrung des IV-Schätzers (von der Grenzwertverteilung gibt es möglicherweise keine Wahrscheinlichkeitsgrenze) größer ist als die Inkonsistenz von OLS.

$n$

— chan1142
quelle