Verallgemeinertes KPR: Frisch-Elastizität

Betrachten Sie die folgende Version von KPR Vorlieben (mit ist Freizeit): $l$

U (c, l) = {({(c)}^{γ} l^{ω})}^{1 - σ}

$U(c,l) = \left(\left(c\right)^\gamma l^\omega\right)^{1-\sigma}$

Ich bin nach der Frisch Elastizität:

\frac{\partial (1 - l)}{\partial w} \frac{w}{1 - l}

$\frac{\partial(1-l)}{\partial w} \frac{w}{1-l}$

Beachten Sie, dass . $\frac{\partial(1-l)}{\partial w} = -\frac{\partial(l)}{\partial w}$

Im Allgemeinen kann man die erste Komponente als

w \frac{\partial l}{\partial w} = \frac{u_{l}}{u_{l l} - \frac{u_{l c}^{2}}{u_{c} c}}

$w\frac{\partial l}{\partial w} = \frac{u_l}{u_{ll} - \frac{u^2_{lc}}{u_cc}}$

Daher ist die Frisch-Elastizität gegeben durch

η = \frac{u_{l}}{\frac{u_{l c}^{2}}{u_{c} c} - u_{l l}} \frac{1}{1 - l}

$\eta = \frac{u_l}{\frac{u^2_{lc}}{u_cc} - u_{ll}}\frac{1}{1-l}$

Mit den gegebenen Präferenzen habe ich das

u_{l} = ω l^{ω - 1} c^{γ} K u_{c} = γ c^{γ - 1} l^{ω} K u_{c c} = (2 γ - 1) γ c^{γ - 2} l^{ω} K u_{l l} = (2 ω - 1) ω l^{ω - 2} c^{γ} K u_{c l} = 2 γ c^{γ - 1} ω l^{ω - 1} K

$u_l = \omega l^{\omega-1} c^\gamma K\\ u_c = \gamma c^{\gamma-1}l^\omega K\\ u_{cc} = (2\gamma-1)\gamma c^{\gamma-2}l^\omega K\\ u_{ll} = (2\omega-1)\omega l^{\omega-2}c^\gamma K \\ u_{cl} = 2\gamma c^{\gamma-1} \omega l^{\omega-1}K$

und dann läuft die Frisch-Elastizität auf

η = \frac{1}{\frac{4 ω}{2 γ - 1} + 1 - 2 ω} \frac{l}{1 - l}

$\eta = \frac{1}{\frac{4\omega}{2\gamma-1} + 1 - 2\omega}\frac{l}{1-l}$

Es ist bis zu einem gewissen Grad sinnvoll: es sich bei um die interzeitliche Elastizität der Substitution handelt, erscheint sie hier nicht. Es erscheinen jedoch die relativen Krümmungen auf und , was in Ordnung ist. Die Elastizität ist jedoch nicht unabhängig von . Da ich etwas in der KPR-Umgebung bin (trotz zusätzlicher Krümmung in ), habe ich das nicht erwartet. $\sigma$ $c$ $l$ $l$ $c$

Stimmt mein Ergebnis? Hat jemand mehr Einblicke in diese Angelegenheit?

— FooBar
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In Bezug auf das Vorhandensein von in der Frisch-Elastizität ist Ihr Ergebnis korrekt. Ich habe den Eindruck, dass eine freie Frisch-Elastizität ganz bestimmte Funktionsformen erfordert. $l$ $l$

Zum Beispiel kennen wir die folgende Utility-Funktion

\begin{matrix} (1) & U (c, l) = l n (c) + α \frac{(1 - l)^{1 + 1 / v}}{1 + 1 / v} \end{matrix}

$U(c,l) = ln(c) +\alpha \frac {(1-l)^{1+1/v}}{1+1/v} \tag{1}$ ergibt eine von unabhängige Frisch-Elastizität (und dann ).

l

$l$

η = v

$\eta=v$

Wir könnten dies mit Ihrer Gebrauchsspezifikation vergleichen und sagen "ah, also müssen wir eine additive Trennbarkeit haben, um eine Frisch-Elastizität unabhängig von " ... Nein, das ist nicht genug. Man beachte, dass im Wesentlichen Nutzen nicht als positive nichtlineare Funktion der Freizeit ausdrückt, sondern als negative nichtlineare Funktion der Arbeit, und so erscheint der Ausdruck . Dies ist wichtig, um aus dem endgültigen Ausdruck zu entfernen. $l$
$(1)$ $1-l$ $l$

Denn wenn wir generell von einer additiven Trennbarkeit ausgehen, ist die Kreuz-Teil-Ableitung Null und wir würden zurückbleiben

\begin{matrix} (2) & η = \frac{u_{l}}{- u_{l l}} \frac{1}{1 - l} \end{matrix}

$\eta = \frac{u_l}{- u_{ll}}\frac{1}{1-l} \tag{2}$

Wenn die additiv trennbare Dienstprogramm Funktion als nichtlineare Funktion der positive ausgedrückt , und nicht als eine negative nicht-lineare Funktion von , wäre auch davon abhängig seine . $l$ $1-l$ $(2)$ $l$

Außerdem stelle ich mit Ihrer Dienstprogrammfunktionsspezifikation nicht fest, dass nicht im endgültigen Bild enthalten ist. Stattdessen finde ich $\sigma$

η = \frac{γ (1 - σ) - 1}{(ω + γ) (1 - σ) - 1} \frac{l}{1 - l}

$\eta = \frac{\gamma(1-\sigma)-1}{(\omega+\gamma)(1-\sigma)-1}\frac{l}{1-l}$

Wenn vereinfacht sich dies $\omega = 1-\gamma$

η = \frac{1 - γ (1 - σ)}{σ} \frac{l}{1 - l}

$\eta = \frac{1-\gamma(1-\sigma)}{\sigma}\frac{l}{1-l}$

Aber das sind tückische algebraische Berechnungen - das sollten Sie noch einmal überprüfen.

— Alecos Papadopoulos
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