Strikte Konvexität ist definiert als
Sei $ X $ eine konvexe Menge in einem realen Vektorraum und sei $ f: X \ rightarrow \ Bbb {R} $ eine Funktion. $ f $ heißt streng konvex wenn $ \ forall x_1 \ neq x_2 \ in X, $ und $ \ forall t \ in (0, 1) $: $$ f (tx_1 + (1-t) x_2) & lt; t f (x_1) + (1-t) f (x_2) $$
Wenn dies nicht zutrifft, muss die marginale Substitutionsrate dann immer noch negativ sein?
Antworten:
Wenn eines der Güter nicht vorteilhaft und das andere nicht vorteilhaft ist, ist die Steigung der Indifferenzkurve positiv und daher die MRS negativ. Das liegt daran $$ MRS (x, y) = - \ frac {MU_x (x, y)} {MU_y (x, y)} $$ und wenn $ x $ von Vorteil ist, dann ist sein Grenznutzen $ MU_x (x, y) $ positiv, während, wenn $ y $ nicht von Vorteil ist, sein Grenznutzen nicht positiv ist. (Null, wenn es sich um ein neutrales Gut handelt.)
Wie @Oliv feststellte, hat dies nichts mit Konvexität zu tun.
Ein Beispiel: Geben Sie (y, t) an, wie viel Geld Sie haben und wie lange Sie brauchen, um zur Arbeit / Schule zu gelangen. Sie mögen es wahrscheinlich, so viel Geld wie möglich zu haben. Weil das Gleiche für die Freizeit gilt, möchten Sie wahrscheinlich die Länge Ihres Pendelverkehrs minimieren. Zwei Dienstprogrammfunktionen, die Ihre Präferenzen darstellen könnten: $$ U_1 (y, t) = y ^ 2 - t \ hskip 20pt U_2 (y, t) = \ sqrt {y} - t. $$ Geld ist sowohl in diesen als auch in der Reisezeit von Vorteil. Aber einer repräsentiert konvexe Vorlieben und der andere konkave.
Die marginale Substitutionsrate ist die Steigung der Indifferenzkurve multipliziert mit -1. Da die Indifferenzkurve negativ geneigt ist (sobald die Person die Waren konsumiert), ist die MRS immer negativ positiv . Dies hat nichts mit der Konvexität der Präferenzen zu tun.
Wenn die Indifferenzkurve konvex ist, ohne streng konvex zu sein, ist sie linear, d. H. Sie hat eine konstante Steigung. In diesem Fall ist die marginale Substitutionsrate konstant (aber immer noch positiv!).