Wie leitet man die Elastizität der Substitution ab?

Für zwei Güter und ist die Substitutionselastizität definiert als $x$ $y$

σ \equiv \frac{d Log (\frac{y}{x})}{d Log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (\frac{y}{x})}{\frac{y}{x}}}{\frac{d (\frac{U_{x}}{U_{y}})}{\frac{U_{x}}{U_{y}}}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$

Ich bin durch zwei Dinge verwirrt:

Warum schreiben wir nur ? Worin unterscheiden wir uns? $d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
Wie verwende ich das, um die obige Beziehung zu zeigen?

Kann das jemand erklären?

elasticity

— Stan Shunpike
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Ableiten der Substitutionselastizität

Der erste Schritt ist das Abrufen der Definition eines Differentials. Wenn Sie eine Funktion , sagen wir , dann: $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ $f(x_1,\cdots,x_n)$

d f = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n} .

${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$

Beispiel:

d Log v = \frac{1}{v} d v

$d\log v = \frac{1}{v}dv$

Nehmen wir nun an, , dann haben wir $v = \tfrac{y}{x}$

d Log (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$

und für $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

d Log (U_{x} / U_{y}) = \frac{d (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}

$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$

Mit anderen Worten, wenn Sie das Problem auf (1) das Verständnis der Definition eines Differentials reduzieren und (2) eine einfache Änderung der Variablen verwenden , wird das Problem sehr einfach.

Sie bekommen dann

σ \equiv \frac{d Log (\frac{y}{x})}{d Log (\frac{U_{x}}{U_{y}})} = \frac{\frac{d (y / x)}{(y / x)}}{\frac{d (U_{x} / U_{y})}{(U_{x} / U_{y})}}

$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$

BEISEITE:

Es ist wichtig zu erkennen, dass ein aussagekräftiges Konzept ist. Sie wenden einfach die Quotientenregel an und finden $d(y/x)$

d (y / x) = \frac{x d y - y d x}{x^{2}}

$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$

Das macht Sinn, weil

d Log (y / x) = d Log (y) - d Log (x) = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

Und wenn Sie rechnen

d Log (y / x) = \frac{d (y / x)}{(y / x)} = \frac{\frac{x d y - y d x}{x^{2}}}{y / x} = \frac{x d y - y d x}{x y} = \frac{d y}{y} - \frac{d x}{x}

$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$

Gleiche Logik gilt für . $d(U_x/U_y)$

Somit sind alle wohldefiniert in dem Sinne verwenden wir die Infinitesimalrechnung Werkzeuge richtig / legal. $\sigma$

Was ist Substitutionselastizität?

Die Elastizität gibt an, um wie viel% sich eine Sache im Verhältnis zu einer Änderung in% einer anderen ändert. In diesem Fall handelt es sich also um eine prozentuale Änderung des Verhältnisses zweier Güter im Verhältnis zu einer einzelnen prozentualen Änderung der für diese beiden Güter. $MRS$

— Stan Shunpike
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