Was ist ein Ersatz / eine Ergänzung in Bezug auf gemischte partielle Derivate?

10

Ich versuche zu verstehen, wie Substituierbarkeit mit gemischten partiellen Derivaten zusammenhängt. Ich dachte, die Änderung des Grenznutzens in Bezug auf eine Änderung des Betrags von würde also war ich verwirrt, als ich den Teil davon in Bezug auf . Misst dies die Rate, mit der sich ME in ändert, während wir in wechseln ? Wie hängt das damit zusammen, ein Ersatz zu sein? $x$

\frac{\partial U}{\partial x}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Stan Shunpike
quelle

Wenn wir mit den Grundlagen beginnen: Wenn komplementär zu dann ist . Richtig?

y

$y$

x

$x$

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— Snoram

13

Es ist hier sehr wichtig anzumerken, dass es mehrere, sich widersprechende Möglichkeiten gibt, wie ein Ersatz / eine Ergänzung definiert werden kann.

Ein Weg ist zu sagen, dass und Komplemente sind, wenn eine Zunahme von den Grenznutzen von erhöht (oder, bei gegebener Symmetrie von gemischten Teilwerten, umgekehrt): Dies ist der Vorschlag in der Antwort von foobar. $x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

Ein anderer Weg ist zu sagen, dass und Komplemente sind, wenn ein Rückgang des Preises von die hicksianische (oder kompensierte) Nachfrage nach erhöht . Da die Hicks'sche Nachfrage die Ableitung der Kostenfunktion (auch Ausgabenfunktion genannt) von Shephards Lemma ist , kann dies auch als Bedingung für gemischte Partials ausgedrückt werden: Dies ist der Vorschlag im Kommentar von Snoram und der Begriff, der in Mikroklassen häufiger verwendet wird. $x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

Diese Definitionen sind nicht gleichwertig! In der Tat müssen in jedem Fall mit nur zwei Gütern diese beiden Güter Ersatz gemäß (2) sein, unabhängig davon, ob das Kreuzteil von in (1) positiv ist oder nicht. $U$

Man kann diesen Konzepten fruchtbare Bezeichnungen geben (obwohl diese Bezeichnungen eher bei der Produktion als bei Nutzfunktionen üblich sind). Nach Hicks können wir Komplemente per Definition (1) q-Komplemente nennen : Wenn und q-Komplemente sind, führt eine Erhöhung der Menge von zu einer Erhöhung des Grenzwerts von . In der Zwischenzeit können wir Komplemente per Definition (2) p-Komplemente nennen : Wenn und p-Komplemente sind, führt eine Abnahme des Preises von zu einer Zunahme der Nachfrage nach . Siehe zum Beispiel $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman (1989) für einen kurzen Überblick.

Beide Konzepte sind in unterschiedlichen Situationen nützlich - es kommt darauf an, woran Sie interessiert sind!

Technischer Hinweis: Möglicherweise stellen Sie fest, dass (1) und (2) einander nicht sehr ähnlich sind: (2) ist ein kompensiertes Konzept, das uns auf derselben Indifferenzkurve hält, während (1) dies nicht tut. Dies ist eine berechtigte Kritik, und tatsächlich gibt es einen alternativen Begriff von "q-Komplementen", der kompensiert wird, und einen Begriff von "p-Komplementen", der nicht kompensiert wird.

Der kompensierte Begriff der q-Komplemente, der für die meisten Anwendungen der Verbrauchertheorie wahrscheinlich relevanter ist als (1), fragt, ob die marginale Rückkehr zu zunimmt, wenn wir erhöhen , während wir auf derselben Indifferenzkurve bleiben. (Es ist für die Verbrauchertheorie relevanter, weil es nicht von der inhärent mehrdeutigen Kardinalität von abhängt . Offensichtlich hat Hicks dies in seiner Revision der Nachfrage-Theorie von 1956 als verbrauchertheoretische Definition von "q-Complements" eingeführt $x$ $y$ $U$ , obwohl ich selbst keine Kopie davon habe.) Dieser Begriff hat auch eine gemischte partielle Charakterisierung in Bezug auf die sogenannte Distanzfunktion, die ein cooles mikro-theoretisches Werkzeug ist, das niemand mehr lernt. Die Matrix der gemischten Teiltöne der Distanzfunktion heißt Antonelli-Matrix und ist eine verallgemeinerte Inverse der geliebten Slutsky-Matrix.

Wenn wir über andere Versionen von p-complements nachdenken wollten, gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine Möglichkeit besteht darin, das Einkommen konstant zu halten und zu sagen, dass und komplementär sind, wenn ein Preisrückgang von die Nachfrage nach Marshall erhöht . Dies ist ein gültiger Begriff (als "grobe" Komplementarität statt "netto" bezeichnet), aber er ist nicht sehr schön, da er nicht symmetrisch ist (aufgrund von Einkommenseffekten) und daher keine gemischte partielle Charakterisierung aufweist. $x$ $y$ $y$ $x$

Eine andere, schönere Möglichkeit besteht darin, den Grenznutzen des Reichtums konstant zu halten (dies wird als "Frisch" -Nachfrage bezeichnet und entspricht der Verbrauchertheorie der Gewinnmaximierung, die den Produktionspreis konstant hält) und danach zu fragen, ob der Preis von sinkt führt zu einer Erhöhung der Nachfrage nach . Dies hängt von Einträgen in der Inversen der Hessischen Matrix der gemischten Teiltöne von , die eine inverse Beziehung mit (1) aufdecken (die von der Hessischen Matrix selbst abhängt), die der oben erwähnten inversen Beziehung zwischen der Antonelli-Matrix und der Slutsky-Matrix entspricht. $y$ $x$ $U$

— nominell starr
quelle

Können Sie erklären, warum Gleichung 2 impliziert, dass es sich um Substitute handeln muss?

— Stan Shunpike

Ungleichung (2) impliziert, dass es sich um Komplemente im Sinne von "p-Komplemente" handelt, weil wir , wobei die Hicks'sche Forderung nach (und die dritte Gleichheit aus Shepards Lemma folgt). Ist das der Teil, der mehrdeutig war?

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

— nominell starr

Ja, aber das hat es deutlich gemacht. Nochmals vielen Dank für eine weitere tolle Antwort.

— Stan Shunpike

4

Denken Sie an zwei Güter, die unabhängig sein sollten. Sagen wir Schuhe und Computerspiele. $x =$ $y =$

Komplemente bedeuten Komplementarität: Sie können mehr genießen , wenn Sie mehr . Daher ein positives Cross-Derivat. $y$ $x$

Ein Ausdruck mit nicht trennbarem Nutzen: . Eine Alternative ist es, was Sie angegeben: Am Rand , mit ermöglicht es Ihnen , genießen mehr. $U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

Bei unseren Schuhen und Computerspielen ist das Cross-Derivat sicherlich 0. Bei Eis und Löffeln ist es höchstwahrscheinlich positiv: Wenn Sie einen Löffel haben, erhöht sich der Grenznutzen, den Sie durch Eis erzielen, was zu einer positiven Kreuzkorrelation führt.

Denken Sie zum Schluss an Schokolade und Eis. Man könnte argumentieren, dass sie als Stellvertreter arbeiten (denken Sie zum Beispiel an die Wüste): Sie wollen entweder den einen oder den anderen. Wenn Sie sie kostenlos bekommen , tut es sicher nicht weh, beide zu haben. Aber wenn Sie faire Preise zahlen müssen, bevorzugen Sie es, den Preis für eine der Auswahlmöglichkeiten zu zahlen und bleiben dabei.

— FooBar
quelle

Was ist mit der Frage der "Symmetrie" gemischter Teiltöne? Gilt das für die Beispiele, die Sie gegeben haben? Spielt das eine Rolle? Mit Symmetrie meine ich .

U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$

— Stan Shunpike