Erweiterung des Nash-Gleichgewichts auf Spiele mit unendlichen Strategien

In dem Lehrbuch von Jehle und Reny (von dem ich hinzufügen sollte, dass ich über einige interessante Abschnitte hinaus nicht viel gelesen habe) wird ein Satz bewiesen, der besagt, dass es in Spielen mit endlicher strategischer Form immer ein (gemischtes) Nash-Gleichgewicht gibt. Das Buch geht davon aus, dass allen Spielern die gleiche Anzahl von Aktionen zur Verfügung steht, aber es ist nicht schwer vorstellbar, wie dies auf den Fall ausgedehnt werden könnte, in dem dies nicht der Fall ist.

Was mich jedoch interessiert, ist, ob es eine Ausweitung auf Spiele gibt, insbesondere auf solche, bei denen es unendlich viele Möglichkeiten gibt. Zum Beispiel gibt es eindeutig kein Gleichgewicht in einem Spiel, in dem ein Spieler gewinnt, indem er die höchste Zahl auswählt, aber wenn wir zum Beispiel dasselbe Spiel haben, aber die Zahl innerhalb des Intervalls (oder eines beliebigen Intervalls) liegen muss das enthält seine Obergrenze), die besten Antwortfunktionen "konvergieren". In ähnlicher Weise würde ich auch vermuten, dass es in Wettbewerbsmodellen "gut erzogene" Kosten- und Nachfragefunktionen geben muss, um "gute" Ergebnisse zu erzielen. $[0, 100]$

Als solches habe ich zwei Fragen:

Gibt es eine genau definierte Umgebung, in der ein Spiel mit unendlichen Strategieoptionen ein Nash-Gleichgewicht aufweist?
Was wäre eine relevante Lektüre dafür?

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Antworten:

Ja, es gibt eine solche Einstellung. Das Ergebnis ist das

Wenn der Strategieraum jedes Spielers ist

konvex

kompakt

und wenn die Auszahlungen kontinuierlich sind, besteht mindestens ein Nash-Gleichgewicht (möglicherweise in gemischten Strategien).

Dies gilt auch dann, wenn die Menge der möglichen Aktionen unzählig ist. Wenn man zusätzlich davon ausgeht, dass die Auszahlungen quasikonkav sind, ist die Korrespondenz mit der besten Antwort konvex, selbst wenn wir die Aufmerksamkeit auf reine Strategien beschränken, so dass wir in einem solchen Spiel garantiert mindestens ein Gleichgewicht in reinen Strategien haben.

Ich glaube, die ursprüngliche Referenz hier ist

IL Glicksberg. " Eine weitere Verallgemeinerung des Kakutani-Fixpunktsatzes mit Anwendung auf Nash-Gleichgewichtspunkte ." Proceedings of the American Mathematical Society , 3 (1): 170–174, 1952.

Die Behandlung in Glicksbergs Artikel scheint jedoch nicht sehr zugänglich zu sein. Eine gute Referenz ist wahrscheinlich Abschnitt 1.3 von Fudenberg & Tiroles Buch "Game Theory" .

— Allgegenwärtig
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R^{2}

$\mathbb{R}^2$

Nein, die geschlossene und begrenzte Bemerkung bezieht sich auf die Kompaktheit: Die Definition einer kompakten Menge ist eine, die sowohl geschlossen als auch begrenzt ist.

— Allgegenwärtig

Richtig, sorry, ich habe die Platzierung des "und" falsch verstanden.

Tatsächlich arbeitet das zitierte Papier Glicksberg explizit in einem Kontext, in dem diese Charakterisierung der Kompaktheit nicht wahr ist - in einem normierten Vektorraum, der in der Norm geschlossen und begrenzt ist, impliziert dies nur eine schwache Kompaktheit.

— Michael

@densep Im Matching Pennies-Spiel sind die verfügbaren Aktionen diskret und das Spiel verfügt daher über einen nicht konvexen Strategieraum, sodass die erste Bedingung in der obigen Anweisung fehlschlägt.

— Allgegenwärtig

Während Kompaktheit und Konvexität immer noch benötigt werden, befasst sich die folgende Referenz mit der Existenz in Vektorraumspielen mit bestimmten Arten von Diskontinuitäten.

Reny, P. (1999) "Über die Existenz von Nash-Gleichgewichten mit reinen und gemischten Strategien in diskontinuierlichen Spielen", Econometrica 67, 1029-1056

— Adamski
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