Reduzierte Form eines ökonometrischen Modells, Identifikationsproblem und Test

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Suchen Sie Hilfe, um das folgende Problem zu verstehen und die reduzierte Form in der Ökonometrie zu verwenden

Betrachten Sie ein Modell für die Gesundheit eines Individuums:

h e a l t h = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + (b_{6}) e x e r c i s e + u

$health = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + (b_6)exercise + u$

Nehmen Sie an, dass alle Variablen in der Gleichung mit Ausnahme von Übung nicht mit u korreliert sind.

A) Notieren Sie die reduzierte Form für das Training und geben Sie die Bedingungen an, unter denen die Parameter der Gleichung identifiziert werden.

B) Wie kann die Identifizierungsannahme in Teil c getestet werden?

Ist es richtig anzunehmen:

e x e r c i s e = b_{0} + (b_{1}) a g e + (b_{2}) w e i g h t + (b_{3}) h e i g h t + (b_{4}) m a l e + (b_{5}) w o r k + u

$exercise = b_0 + (b_1)age + (b_2)weight + (b_3)height + (b_4)male + (b_5)work + u$ als reduzierte Form?

und ist die Bedingung für die Identifizierung von Parametern einfach

$E(exercise|u)=0$

und wie kann ich es testen? Aber wozu ist es gut?

econometrics

— Clemente Cortile
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Dies ist die Standardfrage zu instrumentellen Variablen von linearen Einzelgleichungsmodellen. Angesichts der Grundelemente Ihrer Frage ist die einzige endogene Variable Übung . Um diese spezielle Frage zu beantworten, benötigen Sie eine exoge Variable z , die zwei Bedingungen erfüllt:

cov (z, u) = 0.
Es muss eine Beziehung zwischen der endogenen Variablen und dieser von Ihnen vorgeschlagenen exogenen Variablen bestehen, die jedoch nicht Teil des tatsächlich postulierten Modells (des Strukturmodells) war. Mit anderen Worten, mit , und orthogonal zu all Ihren erklärenden Variablen (außer Übung) und zu z. $e x e r c i s e = β_{0} + β_{1} a g e + β_{2} w e i g h t + β_{3} h e i g h t + β_{4} m a l e + β_{5} w o r k + ϕ z + ε_{e x e r c i s e}$ $exercise=\beta_0+\beta_1 age +\beta_2 weight + \beta_3 height + \beta_4 male + \beta_5 work + \phi z + \varepsilon_{exercise}$ $\phi\ne 0$ $\mathbb{E}\,( \varepsilon_{exercise})=0$

Bevor wir weitermachen, eine Bemerkung. Mit Strukturmodell meine ich nach der Wooldridge- und Goldberger-Konvention das postulierte Modell. Das heißt, das Modell, das den Kausalzusammenhang zwischen Gesundheit und Ihren Kovariaten angibt . Dies ist ein wesentlicher Unterschied und eine Nichtübereinstimmung mit früheren Antworten.

Zurück zum vorliegenden Problem ist Bedingung 2 das, was in der Literatur zu Simultangleichungen die reduzierte Formgleichung nennt , die nichts anderes als eine lineare Projektion des Endogenen auf alle exogenen Variablen, einschließlich z.

Stecken Sie nun das reduzierte Formular in Ihr postuliertes Modell und Sie erhalten

h e a l t h = α_{0} + α_{1} a g e + α_{2} w e i g h t + α_{3} h e i g h t + α_{4} m a l e + α_{5} w o r k + δ z + ν

$health=\alpha_0 + \alpha_1 age + \alpha_2 weight + \alpha_3 height + \alpha_4 male + \alpha_5 work + \delta z + \nu$ wobei , und . Durch die Definition der linearen Projektion ist mit allen erklärenden Variablen korreliert, und daher liefert OLS dieser letzten Gleichung konsistente Schätzungen für und , nicht für das zugrunde liegende im wahren Modell.

α_{i} = b_{i} + b_{6} β_{i}, \forall i \in {1, \dots, 5}

$\alpha_i = b_i + b_6\beta_i,\: \forall i \in \{1,\dots,5\}$

δ = b_{6} ϕ

$\delta=b_6\phi$

ν = u + b_{6} ε_{e x e r c i s e}

$\nu = u+b_6\varepsilon_{exercise}$

ν

$\nu$

α_{i}

$\alpha_i$

δ

$\delta$

b_{i}

$b_i$

Die Identifizierung erfordert ein wenig Manipulation in Matrixform, reduziert sich jedoch im Wesentlichen auf die sogenannte Rangbedingung . Definieren Sie und sodass Ihr Strukturmodell . Definieren Sie nun . Durch Bedingung 1 (cov (z, u) = 0, so dass E (z, u) = 0), Wenn Sie Bot-Seiten des Strukturmodells mit multiplizieren und nimm die Erwartungen, die du hast Rangbedingung besagt dies $\mathbf{b}=(b_0,\dots,b_6)'$ $\mathbf{x}=(1, age, \dots, exercise)'$ $health=\mathbf{x}'\mathbf{b}+u$ $\mathbf{z}\equiv(1,age,\dots,work,z)'$

E (z u) = 0

$\mathbb{E}(\mathbf{z}u)=0$

z

$\mathbf{z}$

E (z x^{'}) b = E (z y)

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')\mathbf{b}=\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

E (z x^{'})

$\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')$ ist voller Spaltenrang. In diesem speziellen Beispiel und unter gegebenen Bedingungen für z entspricht dies dem Daher haben wir 6 Gleichungen in 6 Unbekannten. Daher gibt es eine eindeutige Die Lösung für das System, dh wird identifiziert und entspricht nach Wunsch.

r a n k (E (z x^{'}) = 6

$rank(\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')=6$

b

$\mathbf{b}$

[E (z x^{'})]^{- 1} E (z y)

$[\mathbb{E}(\mathbf{z}\mathbf{x}')]^{-1}\mathbb{E}(\mathbf{z}y)$

Anmerkungen: Bedingung 1 ist nützlich, um die Momentbedingung zu erhalten, aber das reduzierte Formmodell mit ist entscheidend für die Rangbedingung. Beide Bedingungen sind üblich. $\phi$

An dieser Stelle sollte klar sein, warum wir das brauchen. Einerseits erzeugt der OLS-Schätzer des wahren Modells ohne z inkonsistente Schätzer nicht nur für sondern für alle . Andererseits (und in gewisser Weise verwandt) sind unsere Parameter eindeutig identifiziert, sodass wir sicher sind, dass wir den wahren Kausalzusammenhang schätzen, wie er in unserem wahren Modell angegeben ist. $b_6$ $b_i$

In Bezug auf das Testen kann Bedingung 2 (z und Übung sind teilweise korreliert) direkt getestet werden, und Sie sollten diesen Schritt immer entgegen dem Kommentar in einer vorherigen Antwort melden. Zu diesem Schritt gibt es eine große Literatur, insbesondere die Literatur zu schwachen Instrumenten.

Die zweite Bedingung kann jedoch nicht direkt getestet werden. Manchmal können Sie sich auf die Wirtschaftstheorie berufen, um alternative Hypothesen zu rechtfertigen oder bereitzustellen, die die Verwendung von z unterstützen.

— MauOlivares
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Die Frage macht für mich nicht viel Sinn, wie gesagt. Wenn das Problem besagt, dass die Übung endogen ist (korreliert mit dem Fehlerterm), können Sie in der Lösung nicht das Gegenteil annehmen. Außerdem spricht man im Zusammenhang mit der IV-Schätzung normalerweise von reduzierter vs. struktureller Form. Wenn Bewegung endogen ist, benötigen Sie ein Instrument dafür (Variable, die Bewegung vorhersagt, aber die Gesundheit sonst nicht beeinflusst), um kausale Auswirkungen zu erzielen. Wenn beispielsweise einige Personen in Ihrer Stichprobe zufällig Gutscheine für die Mitgliedschaft im Fitnessstudio gewonnen haben, kann dies ein gültiges Instrument sein.

Identifizierungsannahmen wären dann

Gutschein sagt wirklich Übung voraus
Gutschein ist orthogonal zu $u$

Was als Strukturform bezeichnet wird , sind zwei Gleichungen, eine Ihr ursprüngliches Modell, die andere Regression der Couponübung und andere erklärende Variablen aus dem ursprünglichen Modell (die erste Stufe). Eine reduzierte Form wäre, wenn Sie die erste Stufe in die Hauptgleichung einsetzen, sodass Sie die Gesundheit in Bezug auf Alter, Gewicht, ..., Arbeit und Coupon zurückführen (aber nicht trainieren , da dies ersetzt wurde). Eine reduzierte Form wird manchmal verwendet, um die Eigenschaften der IV-Schätzung zu erklären, aber AFAIK wird in der Praxis nicht viel verwendet.

— ivansml
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