Formel für die bedingungslose Varianz der Summe von Beobachtungen aus einer autoregressiven Zeitreihe

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Ich habe Notizen, die besagen, dass wir die folgenden Berechnungen durchführen können. Ich bin ein wenig verwirrt über einige der Berechnungen, die gemacht werden. Welche Annahmen würde ich benötigen, um die folgenden Ergebnisse zu erhalten? Oder gibt es Fehler? Insbesondere bin ich durch die nachstehende Gleichung (1) verwirrt. Insbesondere ist mir das fremd, denn wenn ich lasse , ergibt Gleichung (1) manchmal eine negative Varianz. (Vielleicht ist die Berechnung undefiniert, wenn ?) $\rho = -1$ $\rho = -1$

Sei $r_{t,t+n} = \sum_{i=1}^n r_{t+i}$ . Angenommen, $r_t$ ist ein AR (1) -Prozess (beispielsweise mit Fehlern, die durch eine mittlere Nullnormalverteilung mit der Varianz $\sigma^2$ ), wobei

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = ρ^{j} σ^{2}

$\text{Cov}(r_t,r_{t+j}) = \rho^j \sigma^2$ und somit

Corr (r_{t}, r_{t + j}) = ρ^{j} .

$\text{Corr}(r_t, r_{t+j}) = \rho^j.$

Die Noten , die ich habe sagen , dass , und dass $\text{Var}(r_{t,t+2}) = 2(1 + \rho) \sigma^2$

\begin{matrix} (1) & Var (r_{t, t + n}) = (n + 2 \sum_{ich = 1}^{n - 1} ρ^{ich} (n - ich)) σ^{2} . \end{matrix}

$\text{Var}(r_{t,t+n}) = \left( n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^i (n-i) \right) \sigma^2. \tag{1}$

(FWIW, diese Frage befasst sich mit kumulativen (Protokoll-) Rückgaben.)

econometrics time-series autoregressive

— jmbejara
quelle

r_{t, t + n} = \sum_{ich = 1}^{n} r_{t + ich}

$r_{t,t+n} = \sum_{i=1}^n r_{t+i}$

r_{t, t + n} = \sum_{ich = 0}^{n} r_{t + ich}

$r_{t,t+n} = \sum_{i=0}^n r_{t+i}$

Bitte schreiben Sie auch explizit den AR (1) -Prozess.

— Alecos Papadopoulos

(1)

$(1)$

i = 1

$i=1$

i + 1

$i+1$

a) Es ist korrekt wie geschrieben. Ich bin damit einverstanden, dass es etwas komisch sein könnte, aber dies ist die verwendete Konvention. b) Der für die Fragestellung ausreichend definierte Prozess. Dies ist so explizit, wie es in diesen Anmerkungen definiert ist. c) Du hast recht. Das ist ein Tippfehler. Behoben.

— Jmbejara

2

Für einen AR (1) -Prozess (ich lasse jede Drift weg) ist der Koeffizient der Verzögerung der Korrelationskoeffizient 1. Ordnung.

r_{t + 1} = ρ r_{t} + u_{t + 1}

$r_{t+1} = \rho r_t + u_{t+1}$

Damit

r_{t, t + 2} = \sum_{ich = 1}^{2} r_{t + ich} = r_{t + 1} + r_{t + 2} = ρ r_{t} + u_{t + 1} + ρ r_{t + 1} + u_{t + 2}

$r_{t,t+2} = \sum_{i=1}^2 r_{t+i} = r_{t+1} + r_{t+2} = \rho r_t + u_{t+1} + \rho r_{t+1} + u_{t+2}$

= ρ r_{t} + u_{t + 1} + ρ (ρ r_{t} + u_{t + 1}) + u_{t + 2} = ρ (1 + ρ) r_{t} + (1 + ρ) u_{t + 1} + u_{t + 2}

$=\rho r_t + u_{t+1} + \rho \big(\rho r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = \rho(1+\rho)r_t+(1+\rho)u_{t+1} + u_{t+2}$

und jetzt sind die drei Komponenten unabhängig. Damit

V ein r (r_{t, t + 2}) = ρ^{2} (1 + ρ)^{2} \frac{σ^{2}}{1 - ρ^{2}} + (1 + ρ)^{2} σ^{2} + σ^{2}

${\rm Var}(r_{t,t+2}) = \rho^2(1+\rho)^2\frac {\sigma^2}{1-\rho^2}+ (1+\rho)^2\sigma^2 +\sigma^2$

= ((1 + ρ)^{2} \frac{ρ^{2} + 1 - ρ^{2}}{1 - ρ^{2}} + 1) \cdot σ^{2}

$=\left( (1+\rho)^2\frac {\rho^2+1-\rho^2}{1-\rho^2}+1\right)\cdot \sigma^2$

= (\frac{1 + ρ}{1 - ρ} + 1) \cdot σ^{2} = \frac{2}{1 - ρ} σ^{2}

$=\left( \frac {1+\rho}{1-\rho}+1\right)\cdot \sigma^2 = \frac {2}{1-\rho}\sigma^2$

${\rm Var}(r_{t,t+2})$ $n$

$\rho =-1$ ${\rm Var}(r_{t,t+2}) = \sigma^2$

r_{t + 1} = - r_{t} + u_{t + 1}

$r_{t+1} = - r_t + u_{t+1}$

und so

r_{t + 1} + r_{t + 2} = - r_{t} + u_{t + 1} - r_{t + 1} + u_{t + 2} = - r_{t} + u_{t + 1} - (- r_{t} + u_{t + 1}) + u_{t + 2} = u_{t + 2}

$r_{t+1} + r_{t+2} = - r_t + u_{t+1}- r_{t+1} + u_{t+2} = - r_t + u_{t+1} - \big(- r_t + u_{t+1}\big) + u_{t+2} = u_{t+2}$

— Alecos Papadopoulos
quelle

r_{t - 1} = 0

$r_{t-1} = 0$

V a r (r_{t}) = σ^{2}

$Var(r_t) = \sigma^2$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = ρ^{j} σ^{2}

$\text{Cov}(r_t,r_{t+j}) = \rho^j \sigma^2$

r_{t - 1}

$r_{t-1}$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = \frac{ρ^{j}}{1 - ρ^{2}} σ^{2}

$\text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma^2$

Ja, das ist die bedingungslose Autokovarianzfunktion eines AR (1).

— Alecos Papadopoulos

2

r_{t + 1} = r_{t} + ϵ_{t + 1},

$r_{t+1} = r_t + \epsilon_{t+1},$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = \frac{ρ^{j}}{1 - ρ^{2}} σ_{ϵ}^{2}

$\text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2$

σ_{ϵ}^{2} := V a r (ϵ)

$\sigma^2_\epsilon := Var(\epsilon)$

Var (r_{t}) = σ^{2} = \frac{1}{1 - ρ^{2}} σ_{ϵ}^{2}

$\text{Var}(r_t) = \sigma^2 = \frac{1}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2$

| ρ | < 1

$|\rho| < 1$

ρ = - 1

$\rho = -1$

Cov (r_{t}, r_{t + j}) = \frac{ρ^{j}}{1 - ρ^{2}} σ_{ϵ}^{2} = ρ^{j} σ^{2},

$\text{Cov}(r_t, r_{t+j}) = \frac{\rho^j}{1 - \rho^2} \sigma_\epsilon^2 = \rho^j \sigma^2,$

\begin{aligned} Var (r_{t, t + n}) & = Var (\sum_{ich = 1}^{n} r_{t + ich}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{ich = 1}^{n} Cov (r_{t + 1}, r_{t + j}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{ich = 1}^{n} ρ^{| ich - j |} σ^{2} \\ = (n + 2 \sum_{ich = 1}^{n - 1} ρ^{j} (n - ich)) σ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{Var}(r_{t,t+n}) &= \text{Var}\left (\sum_{i=1}^n r_{t+i} \right) \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \text{Cov}(r_{t+1}, r_{t+j}) \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \rho^{|i - j|} \sigma^2 \\ &= \left (n + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \rho^j (n - i) \right) \sigma^2. \end{align}$

— jmbejara
quelle

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(+1) für das Ausarbeiten und Veröffentlichen.

— Alecos Papadopoulos