Hilfe beim Verständnis der Lagrange-Multiplikatoren?

Ich versuche, Lagrange-Multiplikatoren zu verstehen und verwende ein Beispielproblem, das ich online gefunden habe.

Problemeinstellung:

Stellen Sie sich einen Verbraucher mit der Dienstprogrammfunktion , wobei . Angenommen, dieser Verbraucher hat Vermögen und die Preise . Das ist alles was uns gegeben wurde.$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

Arbeit, die ich getan habe:

Ich habe dann eine Budgetbeschränkungsgleichung definiert: . Ich habe dann auch einen zugehörigen Lagrange für das Maximierungsproblem des Verbrauchers definiert: .$w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Meine Frage:

Was erlaubt mir diese Gleichung zu tun? Obwohl ich es anhand der Formel auf der Wikipedia-Seite über Lagrange-Multiplikatoren eingerichtet habe, habe ich wirklich keine Ahnung, was der Zweck dieser Gleichung ist. Als ob ich nicht verstehe, wie die gegebene Gleichung es mir ermöglicht zu bestimmen, wie ich meine Nutzenfunktion maximieren kann.

Hinweis: Ich bin mit multivariablen Berechnungen und Lagrange ( ) in der Physik vertraut , aber diese Methode ist für mich neu.$L = T -V$

Eine eingeschränkte Optimierungsfunktion maximiert oder minimiert ein Ziel, das einer oder mehreren Einschränkungen unterliegt. Nach meinem Verständnis wandelt der Lagrange-Multiplikator-Ansatz ein eingeschränktes Optimierungsproblem (I) in ein nicht eingeschränktes Optimierungsproblem (II) um, bei dem die optimalen Steuerwerte für Problem II auch die optimalen Steuerwerte für Problem I sind. Zusätzlich funktioniert das Ziel in Die Probleme I und II nehmen die gleichen optimalen Werte an. Der Trick ist eine clevere Methode, um die Einschränkungen direkt in die Zielfunktion zu integrieren, anstatt sie separat zu verwenden.

Ich stimme Ihrer Darstellung des Maximierungsproblems des Verbrauchers zu: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Nun nehmen wir die partiellen Ableitungen in Bezug auf x und y, setzen sie gleich Null und lösen dann nach x * und y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ (Gleichung 1)

Stellen Sie die Budgetbeschränkungsgleichung wieder her, indem Sie die partielle Ableitung .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ (Gleichung 2)

Wir haben jetzt zwei Gleichungen und zwei Unbekannte (x, y) und können nach x * und y * auflösen.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (Ergebnis 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (Ergebnis 2)

Die Ergebnisse 1 und 2 bilden das berühmte Ergebnis konstanter Ausgabenanteile für die Cobb-Douglas-Versorgungs- und Produktionsfunktionen. Was auch explizit für x * und y * gelöst werden kann: und die die optimalen Werte sowohl für das Lagrange- als auch für das ursprüngliche Problem sind.$x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

Dies dient der Intuition und nicht der Strenge und setzt voraus, dass wir wissen, auf welche Weise Sie von der Einschränkung abweichen möchten. Hier ist es einfach; Sie würde zu viel ausgeben wollen, so rufen wir Lagrange disziplinieren Sie verbringen anstatt mehr. Denken Sie in den folgenden Schritten an das Problem:$w$

1. Sie möchten Pizza ( ) und Bier ( ) konsumieren und Ihre Eltern bitten, eine Kreditkarte auszuleihen.$x$$y$
2. Deine Eltern kennen dich, also bekommst du mit der Kreditkarte die folgende Warnung: Wenn du mehr als , lassen wir unseren bösen Nachbarn Mr. Lagrange auf deine Finger schlagen und liefern einen Schmerz im Wert von Versorgungseinheiten pro Dollar, den du übergibst.$w$$\lambda$
3. Schau dir den Lagrange an. Es ist jetzt Ihr Netz der Strafe in Abhängigkeit von Pizza ( ), Bier ( ) und Schmerz ( ). Aus Ihrer Sicht maximieren Sie dies nur für gegebenes (was insbesondere bedeutet, dass eine grobe Überschreitung Ihres Budgets eine kleine Anzahl von Ohrfeigen von Herrn Lagrange wert ist, wenn sehr klein ist).y λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) λ $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. Aus der Sicht Ihrer Eltern möchten sie an die Zahl anpassen , mit der Sie sich freiwillig dafür entscheiden, genau auszugeben , und Mr. Lagrange in Schach halten. (Wenn Sie höher wählen, werden Sie zu wenig ausgeben. Sie können die Interpretation entsprechend anpassen.)w $\lambda$$w$$\lambda$
5. Natürlich wählen Sie dann genau das Niveau, bei dem es Ihnen gleichgültig ist, ob Sie das Bündel an zusätzlichem Verbrauch und Strafe haben oder nicht. Daher lautet die Interpretation des Schattenpreises: ist (genauer gesagt: ungefähr erster Ordnung), wie viel Sie bereit wären zu zahlen - in denselben Einheiten wie Ihre Zielfunktion! um Ihr Budget zu erhöhen.$\lambda$

Was den Vorschlag betrifft, das Vorzeichen für die Einschränkung zu ändern: Natürlich funktioniert es mathematisch, aber ich benutze es kaum für Unterrichtszwecke; Sie es so lassen, wie es ist, legt eine Einschränkung (die Sie nicht mögen, es reduziert Ihren Nutzen) als Äquivalent zu einer Steuer (die Sie aus demselben Grund auch nicht mögen . Aus wirtschaftlicher Sicht kommt man auf die Idee, dass die Beschränkung durch eine Steuer umgesetzt wird, und das ist lehrreich, wenn man beispielsweise Pigouvianische Steuern modelliert, die (unerwünschte negative) externe Effekte internalisieren.$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

Die Verwendung von Lgrange-Multiplikatoren zur Optimierung einer Funktion unter Einschränkungen ist eine nützliche Technik , bietet jedoch letztendlich zusätzliche Einblicke und Informationen. Das Problem ist das Festhalten an Gleichheitsbeschränkungen

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

kann natürlich durch direkte Substitution in ein uneingeschränktes Problem umgewandelt werden:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Im Allgemeinen kann eine direkte Substitution jedoch zu umständlichen Ausdrücken führen (insbesondere bei dynamischen Problemen), bei denen ein algebraischer Fehler leicht zu begehen ist. Die Lagrange-Methode hat hier also einen Vorteil. Darüber hinaus hat der Lagrange-Multiplikator eine aussagekräftige wirtschaftliche Interpretation. In diesem Ansatz definieren wir eine neue Variable, beispielsweise , und bilden die "Lagrange-Funktion".$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Erstens ist zu beachten , dass ist äquivalent zu , da der hinzugefügte Teil auf der rechten Seite gleich Null ist. Jetzt maximieren wir den Lagrange in Bezug auf die beiden Variablen und erhalten die Bedingungen erster Ordnung$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Durch gleichgesetzt , liefert dies schnell die grundlegende Beziehung$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Diese optimale Beziehung liefert zusammen mit der Budgetbeschränkung ein Zwei-Gleichungssystem in zwei Unbekannten und liefert somit die Lösung als Funktion der exogenen Parameter (der Gebrauchsparameter , die Preise) und der gegebene Reichtum ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

Um den Wert von zu bestimmen , multiplizieren Sie jede Bedingung erster Ordnung durchgehend mit bzw. und summieren Sie sie dann mit den Seiten, um zu erhalten$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Mit einem vom ersten Grad homogenen Nutzen, wie es bei Cobb-Douglas-Funktionen der Fall ist, haben wir das

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

und so haben wir das optimale Bündel

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

Und so erhält der Lagrange-Multiplikator eine wirtschaftlich sinnvolle Interpretation: Sein Wert ist der Grenznutzen des Reichtums . Im Zusammenhang mit dem ordinalen Nutzen ist der marginale Nutzen nicht wirklich sinnvoll (siehe auch die Diskussion hier ). Das obige Verfahren kann jedoch beispielsweise auf ein Kostenminimierungsproblem angewendet werden, bei dem der Lagrange-Multiplikator den Anstieg der Gesamtkosten durch einen geringfügigen Anstieg der produzierten Menge widerspiegelt, und somit die Grenzkosten.

Ich würde Ihnen empfehlen, diese Antwort Absatz für Absatz durchzuarbeiten und sicherzustellen, dass Sie jede nacheinander erhalten, da Sie sonst verwirrt werden. Möglicherweise möchten Sie sogar spätere ignorieren, wenn dies für Ihren Zweck nicht erforderlich ist.

Die Hauptidee ist zu hören, dass, wenn der Punkt ein bedingtes Extremum ist, es notwendigerweise ein stationärer Punkt des Lagrange ist, dh ein solcher Punkt, dass alle partiellen Ableitungen des Lagrange darin Null sind. Um das Problem zu lösen, sollten Sie alle stationären Punkte identifizieren und dann das Maximum unter ihnen finden.

Im Allgemeinen ist dieses Rezept jedoch nicht zuverlässig, da das Maximum möglicherweise nicht vorhanden ist. Normalerweise können Sie seine Existenz mit dem Satz von Weierstrass überprüfen. Es erfordert, dass die Fiktion kontinuierlich ist und die Menge kompakt ist, was hier der Fall ist. Im Allgemeinen bedeutet dies, dass Sie alle Grenzpunkte der betreffenden Menge überprüfen müssen, Punkte und Punkte .$x= 0$$y = 0$

In diesem Fall reicht Ihre Gleichung für die Lösung nicht aus, da die Menge, die Sie betrachten, eher durch Ungleichungen als durch Gleichheiten definiert ist. Sie können darauf hinweisen, dass die Funktion in und monoton ist , sodass sich das Maximum an der oberen rechten Grenze befindet. Außerdem ist der Nutzen 0, wenn oder , während es mögliche Punkte gibt, an denen er streng positiv ist, so dass das Maximum weder an der linken noch an der unteren Grenze erreicht werden kann. Dann ist dieser Ansatz völlig gerechtfertigt.$x$$y$$x = 0$$y=0$

In Zukunft sollten Sie sich dieses Problems bewusst sein, wenn ein solcher Typ im Allgemeinen durch Anwendung des Kuhn-Tucker-Theorems gelöst werden sollte, und ich empfehle Ihnen, sich mit ihm vertraut zu machen, nachdem Sie dieses Material verstanden haben.

Wie andere angemerkt haben, besteht die Essenz der Lagrange-Methode darin, ein Problem mit eingeschränktem Extremum in eine Form umzuwandeln, so dass der FOC des Problems mit freiem Extremum angewendet werden kann. In Ihrem Setup haben Sie das nicht eingeschränkte Problem ( ) in Folgendes umgewandelt:$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

Wenn Sie davon ausgehen, dass die Einschränkung erfüllt ist, dass , verschwindet der letzte Term unabhängig vom Wert von , sodass mit identisch ist . Der Trick besteht darin, als zusätzliche Auswahlvariable zu behandeln und so maximieren . Da die erste für Ordnung Bedingung ist$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ Wir können sicher sein, dass die Einschränkung und verschwindet .$\lambda$

Die Interpretation von (dem Lagrange-Multiplikator) ist im weitesten Sinne der Schattenpreis der ten Beschränkung. In Ihrem Setup, in dem es nur eine Budgetbeschränkung gibt, sind die Schattenkosten die Opportunitätskosten der Budgetbeschränkung, dh der Grenznutzen von Budgetgeldern (Einkommen).$\lambda_i$$i$

Eine andere Möglichkeit, dies anzuzeigen, besteht darin, dass die Empfindlichkeit von gegenüber Änderungen der (Budget-) Einschränkung misst . In der Tat kann das bewiesen werden$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

Beachten Sie, dass Sie für diese Interpretation von die Einschränkung immer als und nicht als (wie Sie es in Ihrem Setup geschrieben haben).$\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$