Kann eine kontinuierliche Präferenz durch eine diskontinuierliche Funktion dargestellt werden?

Ich kann mir einige Beispiele vorstellen, aber was kann ein Überblick über den Beweis sein?

In der Tat haben Sie Recht, dass eine kontinuierliche Nutzenfunktion durch eine diskontinuierliche Funktion dargestellt werden kann. Ich bin mir jedoch nicht sicher, was Sie unter Beweis jenseits eines Beispiels verstehen. ein Beispiel ist ein Beweis für diese Tatsache.

Der Vollständigkeit halber sei hier ein Beispiel angeführt $ \ succeq \, \ subset \ mathbb R \ times \ mathbb R $ um die übliche Reihenfolge wiederzugeben (d. h. $ x \ succeq y $ iff $ x \ geq y $ ). Dies ist eindeutig eine kontinuierliche Reihenfolge, da die Kontursätze Intervalle sind. Die Utility-Funktion $$ U (x) = \ begin {cases} x & amp; \ text {if} x & lt; 4 \\ x + 1 & amp; \ text {if} x \ geq 4 \ end {cases} $$ ist diskontinuierlich, repräsentiert aber $ \ succeq $ .

Jede solche Funktion muss auch eine kontinuierliche Darstellung haben.