Slutsky-Gleichung mit Marshallian-Forderung

Wir haben Marshallianische Forderungen für Waren 1 und 2:

$ x_1 ^ * = \ frac {I} {2p_1} $ und $ x_2 ^ * = \ frac {I} {2p_2} $ woher $ I $ ist Einkommen und $ p_i $ ist der Preis.

Wir müssen die Slutsky-Gleichung nach Einkommenseffekt und Substitutionseffekt lösen:

$ \ frac {D (x_i)} {D (p_j)} = \ frac {D (H ^ i (p1, p2, i))} {D (p_i)} - x_j * \ frac {D (x_i ^ *) )} {D (I)} $

Die Marshallian-Nachfrage ist also die gleiche wie die kompensierte Nachfrage.

Ich habe die linke Seite der Gleichung gelöst und ein Ergebnis davon erhalten $ 0 $ .

Dann kam ich zum Einkommenseffekt und erhielt folgendes Ergebnis:

$ - \ frac {I} {2p_j} * \ frac {1} {2p_i} = - \ frac {I} {4p_jp_i} $

Das Einsetzen der Ergebnisse von oben in die Slutsky-Gleichung ergibt ein positives Ergebnis für den Substitutionseffekt. Ich dachte, dass der Substitutionseffekt immer negativ ist. Kann mir jemand helfen?

Der erste Ausdruck auf der rechten Seite der Slutsky-Gleichung (wie Sie ihn schreiben) sollte sein $ \ frac {\ partial h_i (p_i, p_j, I)} {\ partial p_j} $ nicht $ \ frac {\ partielles h_i (p_i, p_j, I)} {\ partielles p_i} $ .

Ihre nachfolgende Algebra ist also in Ordnung, aber Sie kombinieren eine Kreuzpreisersetzung mit der Eigenpreisersetzung: wenn Sie dies zulassen $ i \ neq j $ in der Slutsky-Gleichung der erste Ausdruck auf der rechten Seite $ \ left (\ text {again,} \ frac {\ partial h_i (p_i, p_j, I)} {\ partial p_j} \ right) $ misst den preisübergreifenden Substitutionseffekt einer Preiserhöhung von $ j $ auf die (kompensierte) Nachfrage von $ i $ . Sie fanden es positiv, also Waren $ i $ und $ j $ sind Netz Substitute (die Cross-Preisteile von $ h_i $ und $ h_j $ kann nicht entgegengesetzt signiert werden (dies folgt aus Shephards Lemma).

Wenn du lassst $ i = j $ Sie werden jedoch feststellen, dass die Slutsky-Gleichung impliziert, dass der Effekt der Substitution der eigenen Preise für beide Waren negativ ist.

$$ \ begin {align} \ frac {\ partielles h_i (p_i, I)} {\ partielles p_i} & =; frac {\ partielles x_i} {\ partielles p_i} + x_i \ frac {\ partielles x_i} {\ partielles}} & amp; = - \ frac {I} {2p_i ^ 2} + \ frac {I} {2p_i} \ left (\ frac {1} {2p_i} \ right) \\ & amp; = - \ frac {I} {4p_i ^ 2} & lt; 0 \ end {align} $$