Erläutern gemischter Strategien für One-Shot-Spiele

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In der klassischen Einführung in die nichtkooperative Spieltheorie wird die gemischte Strategie für einen Spieler als Verteilung über den Strategieraum für den Spieler vermittelt. Die Verteilung gibt uns im Wesentlichen die Wahrscheinlichkeiten (z. B. diskrete Strategiesätze), mit denen ein Spieler die Strategien in einem Nash-Gleichgewicht spielen sollte.

Wahrscheinlichkeiten sind jedoch häufig und bedeuten im Wesentlichen den langfristigen Anteil der Spiele, in denen der Spieler die Strategie spielen sollte. Die Einstellung ist jedoch ein One-Shot-Spiel und dies ist ein Widerspruch.

Wie lösen wir den Widerspruch, wenn wir erklären, was eine gemischte Strategie ist?

game-theory

— Bravo
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Es ist kein Widerspruch zu jemandem, der die Propensitätsinterpretation von Wahrscheinlichkeit als Manifestation von Wahrscheinlichkeiten in Einzelfällen ansieht.

— Pburg

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Ariel Rubinstein neigt dazu, solche Fragen zu beantworten.

Er befasst sich mit der Interpretation gemischter Strategien in Abschnitt 3 dieses Papiers.

Einige mögliche Interpretationen außer der absichtlichen Randomisierung:

Reinigung: Eine gemischte Strategie ist ein Aktionsplan, der auf Informationen basiert, die im Modell nicht angegeben sind.
Eine fiktive Langzeitgeschichte.
Bevölkerungsdurchschnitt, stellen Sie sich also vor, der Spieler würde aus einer Bevölkerungsverteilung gezogen, in der verschiedene Typen unterschiedliche reine Strategien spielen. Die Bevölkerungsverteilung ist die gemischte Strategieverteilung.

Ein interessantes Zitat über die gemischte Strategie von Spieler , das die Unsicherheit von bezüglich dessen widerspiegelt, was tun werde: $i$ $-i$ $i$

Eine gemischte Strategie kann alternativ als der Glaube aller anderen Spieler an die Handlungen eines Spielers angesehen werden. Ein gemischtes Strategiegleichgewicht ist dann ein n-Tupel von allgemein bekannten Erwartungen, das die Eigenschaft hat, dass alle Handlungen, denen eine streng positive Wahrscheinlichkeit zugeordnet ist, angesichts der Überzeugungen optimal sind. Das Verhalten eines Spielers kann von allen anderen Spielern als Ergebnis eines zufälligen Geräts wahrgenommen werden, auch wenn dies nicht der Fall ist. Die Annahme dieser Interpretation erfordert die Neubewertung eines Großteils der angewandten Spieltheorie. Insbesondere impliziert dies, dass ein Gleichgewicht nicht zu einer Vorhersage (statistisch oder anderweitig) des Verhaltens der Spieler führt. Die Aktion eines jeden Spielers ist die beste Antwort, wenn man seine Erwartungen an die Aktion der anderen Spieler berücksichtigt. Das Verhalten (die anderen n - 1 Strategien) ist als Vorhersage für die Aktion von i konsistent (dies kann Aktionen einschließen, die außerhalb der Unterstützung der gemischten Strategie liegen). Dies macht eine vergleichende Statistik oder Wohlfahrtsanalyse des Gleichgewichts der gemischten Strategien bedeutungslos und stellt die enorme ökonomische Literatur in Frage, die das Gleichgewicht der gemischten Strategien nutzt.

— Pburg
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Sei eine Strategie, die dem Spielen von Wahrscheinlichkeiten , und sei die Menge solcher Strategien, die zu einem Gleichgewicht in führen Ein symmetrisches Spiel für zwei Spieler. $s_i = \{p_A^i, p_B^i\}$ $A,B$ $s = \{s_i, s_i\}_i$

Wie Sie sagen, wir unter Wahrscheinlichkeiten, mit denen eine bestimmte Aktion ausgeführt wird. Wenn kein Singleton ist, haben wir multiple Gleichgewichte, was die meisten Wirtschaftszweige nicht mögen, weil es das Lösen von Modellen ziemlich schwierig macht und es schwierig ist, mit Nicht-Eindeutigkeiten zu arbeiten: Wie sollen wir das Modell simulieren? Welches der Gleichgewichte wird tatsächlich gespielt? $s_i$ $s$

Zumindest wissen wir bei Gleichgewichten mit gemischten Strategien, wie wahrscheinlich es ist, dass die einzelnen Gleichgewichte auftreten. Wahrscheinlichkeiten mögen Sie nicht, insofern sie Frequenzen tragen, von denen Sie sagen, dass die Vorstellung, das Spiel sei ein einziger Schuss, dem widerspricht.

Gleichzeitiges Spielen bedeutet jedoch nicht, dass das Spiel nur einmal gespielt wird. In einer Welt mit vielen Individuen kann jeder einen Partner finden und eine der Strategien in , insofern wir (gleichzeitig!) von ihnen im Gleichgewicht finden und Bruchteil von Individuen, die das nächste Gleichgewicht spielen usw. $s$ $p_A$ $\{A, A\}$ $p_B$

Nicht gleichzeitig Alternativ könnte man argumentieren, dass in einer Welt mit viel Anonymität die Leute die Partner vergessen, mit denen sie zuvor gespielt haben. Wir haben viele Leute, die Strategien in zum Zeitpunkt , dann entkoppeln wir sie, geben jedem neue Partner und lassen sie wieder spielen. Auch wenn die Möglichkeit besteht, denselben Typen wiederzusehen: Da diese Möglichkeit auf Null geht, können Sie dies als ein wiederholtes Spiel mit einem Rabattfaktor modellieren . $s$ $t$ $\delta\rightarrow 0$

Mangelndes Engagement Denken Sie abschließend an Situationen, bei denen es sich tatsächlich um wiederholte Spiele handelt, beispielsweise um Interaktionen zwischen Regierung und Verbrauchern. Dies könnte als ein sich wiederholendes Spiel modelliert werden, wir könnten jedoch denken, dass die Regierung nicht in der Lage ist, sich auf eine Strategiefolge festzulegen. Anstatt dies als ein wiederholtes Spiel zu modellieren, modellieren wir es als Wiederholung des One-Shot-Gleichgewichts: Wenn ein Zeithorizont , werden wir sehen, dass der Zeit, die Regierung und die Verbraucher das Gleichgewicht spielen usw. $T$ $T\cdot p_A$ $\{A, A\}$

— FooBar
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Dies ist eine Ergänzung von Pburgs Zitat:

Eine Ansicht in Aumann und Brandenburger (1995) ist, dass gemischte Strategie nur in den Augen der Gegner ist. In einem Spieler-Spiel ist die Menge der Zustände der Welt . Für einen Zustand erfüllt er die folgende Spezifikation: $N$ $\mathbf {S} : = \times_{i \in N} S_i$ $s \in \mathbf S$

Für einen Spieler sei die Projektion auf die te Komponente eines Zustands . Wenn ein Zustand erkannt wird, ist sich Spielerin über ihren eigenen Typ absolut sicher , aber über den genauen Zustand unsicher. Mit anderen Worten, sie weiß nicht, welcher Zustand in erhalten wird. Stattdessen glaubte sie an , das durch spezifiziert wird . $i$ $\pi_i : \mathbf {S} \to S_i$ $i$ $i$ $s_i$ $\pi_i^{-1}(s_i)$ $\pi_i^{-1}(s_i)$ $s_i$
Sei der Aktionsraum des Spielers . Ihre Aktion ist eine Zufallsvariable , während ihre Einschränkung konstant ist. $A_i$ $i$ $a_i : \mathbf{S} \to A_i$ $\left.a_i\right|_{\pi_i^{-1}(s_i)}$
Die Utility-Funktion von Player ist wie , dh bezieht sich für alle auf dieselbe Utility-Funktion für alle . $i$ $g_i$ $a_i$ $g(s) : \mathbf{A} \to \mathbb{R}$ $s \in \pi_i^{-1}(s_i)$ $s_i$

— Metta-Weltfrieden
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Nun, hier ist mein Versuch zu antworten, wenn ich diesem Artikel in Physics ( http://bayes.wustl.edu/etj/articles/prob.in.qm.pdf) folge. Ich denke, dass Neigung eine schöne Interpretation von gemischten Strategien ist, aber formeller sollten wir sagen, dass sie die Ignoranz des Modellbauers einfängt. Wir sagen, alles geht, in der Tat könnten alle Strategien ergriffen werden (wenn die Unterstützung überall positiv ist), aber das Lösungskonzept sagt, dass bestimmte wahrscheinlicher sind. Wahrscheinlichkeiten messen hier die Unwissenheit des Modellierers und sind ein Ergebnis des Mangels an Informationen des Spieltheoretikers über das Spiel. Um dies zu verdeutlichen, sagen wir, dass wir mit einem der Spieler sprechen und er uns versichert, dass er eine Strategie verfolgen wird, egal was passiert. Dann können wir eine schärfere Vorhersage treffen Form einer reinen Strategie. Häufigkeiten entstehen, wenn wir das Spiel als ein typisches Spiel betrachten,

— user157623
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Sie gilt nicht für alle Spiele, aber es gibt auch Situationen , in denen (zumindest einige) der Spieler tatsächlich Randomisierung Geräte in Spielen verwendet werden, die als One-Shot angesehen werden könnten. Hier sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen keine Häufigkeiten, sondern die Verteilungen, die das Randomisierungsgerät verwendet. Jedes Mixed-Strategy-Gleichgewicht ist dann ein Gleichgewicht im Ex-ante-Sinne (obwohl die Spieler möglicherweise ein einziges Mal aus dem Zufallsgenerator schöpfen und es möglicherweise keinen Sinn gibt, in dem die Ex-post-Situation ein Gleichgewicht darstellt).

Beispiele beinhalten:

— Martin Van der Linden
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