(I) Ein Monopolist hat eine Kostenfunktion $ c (q) = q $. Es stellt sich der folgenden Nachfragefunktion $ q (p) = 100 / p $ für $ p \ le 20 $ und $ q (p) = 0 $ für $ p \ ge 20 $. Was ist der Gewinn, der Preis und Leistung maximiert.
Angesichts der Anforderungsfunktion
\ begin {eqnarray *} q (p) = \ begin {cases} \ frac {100} {p} & amp; \ text {if} p \ leq 20 \\ 0 & amp; \ text {if} p & gt; 20 \ end {cases} \ end {eqnarray *}
Der Umsatz ist also eine Funktion der Menge $ (q) $
\ begin {eqnarray *} r (q) = \ begin {cases} 100 & amp; \ text {if} q \ geq 5 \\ 0 & amp; \ text {wenn} q & lt; 5 \ end {cases} \ end {eqnarray *}
Da die Kosten $ c (q) = q $ sind, ist der Gewinn in Abhängigkeit von der Menge $ (q) $
\ begin {eqnarray *} \ pi (q) = r (q) - c (q) = \ begin {cases} 100 - q & amp; \ text {if} q \ geq 5 \\ -q & amp; \ text {wenn} q & lt; 5 \ end {cases} \ end {eqnarray *}
Wir lösen einfach das folgende Problem, um die optimale Menge des Monopolisten zu finden:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {q \ geq 5} \ 100 - q \ end {eqnarray *}
Bei der Lösung erhalten wir die optimale Menge $ (q ^ m) $ und den entsprechenden Preis $ (p ^ m) $, den der Monopolist als gewählt hat
\ begin {eqnarray *} q ^ m & amp; = & amp; 5 & middot; m & amp; = & amp; 95 \ end {eqnarray *}
(ii) Ein Monopolist hat eine Kostenfunktion $ c (q) = \ alpha q $, wobei alpha feste Grenzkosten ist. Die Demand-Funktion hat eine konstante Preiselastizität der Nachfrage mit einem Wert von -3-3 $. Die Regierung erhebt eine Steuer von 6 Dollar pro Produktionseinheit. Um wie viel wird der monopolistische Preis steigen?
Da die Demand-Funktion eine konstante Preiselastizität aufweist, deren Wert $ -3 $ beträgt, hat sie folgende Form:
$$ q (p) = \ beta p ^ {- 3} $$, wobei $ \ beta & gt; 0 $ ist eine Konstante.
Nun kann das Problem der Gewinnmaximierung des Monopolisten in Bezug auf den Preis $ (p) $ folgendermaßen geschrieben werden:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {p} \ \ pq (p) - c (q (p)) \ end {eqnarray *}
Da die Kosten $ c (q) = \ alpha q $ und die Nachfrage $ q (p) = \ beta p ^ {- 3} $ sind, lautet das Problem der Gewinnmaximierung:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {p} \ beta p ^ {- 2} - \ alpha \ beta p ^ {- 3} \ end {eqnarray *}
Bei der Lösung erhalten wir den optimalen Preis als:
\ begin {eqnarray *} p ^ m = \ frac {3 \ alpha} {2} \ end {eqnarray *}
Bei einer Steuer von 6 pro Einheit besteht das Problem der Gewinnmaximierung
\ begin {eqnarray *} \ max_ {p} \ beta p ^ {- 2} - \ alpha \ beta p ^ {- 3} - 6 \ beta p ^ {- 3} \ end {eqnarray *}
Bei der Lösung erhalten wir den optimalen Preis als:
\ begin {eqnarray *} p ^ t = \ frac {3 (\ alpha + 6)} {2} \ end {eqnarray *}
Daher ist die Preiserhöhung aufgrund von Steuern gleich:
\ begin {eqnarray *} \ Delta = p ^ t - p ^ m = 9 \ end {eqnarray *}
