Homothetische Vorlieben und Nutzenfunktionen

Ich weiß, dass wenn Sie homothetische Präferenzen haben und eine Utility-Funktion, die diese darstellt, diese Utility-Funktion eine konstante marginale Substitutionsrate (MRS) aufweisen muss. Meine Frage ist, ob die entgegengesetzte Implikationsrichtung auch wahr ist, um genau zu sein, ist es wahr, dass eine Nutzenfunktion, die eine konstante MRS vorgibt, immer eine homothetische Präferenz darstellt?

utility marginal

— Alessandro Rivello
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Homothetische Präferenzen haben nicht unbedingt eine konstante MRS (dies gilt nur für perfekte Substitute); Homothetik impliziert, dass die MRS vom Grad Null homogen ist, dh dass sie nur vom Verhältnis der Warenmengen abhängt. Und ja, es ist ein Äquivalenzergebnis.

— Oliv

Wie in den Kommentaren erwähnt, müssen homothetische Präferenzen keine konstanten Grenzsubstitutionsraten aufweisen.

Um dies zu sehen, erinnern Sie sich an die Einstellungen, die von der Dienstprogrammfunktion angegeben wurden

u (x, y) = x^{α} y^{1 - α}

$u(x,y) = x^\alpha y^{1-\alpha}$

sind homothetisch. (Im Allgemeinen sind Cobb-Douglas-Präferenzen homothetisch.) Die marginale Substitutionsrate beträgt jedoch

MRS (x, y) = \frac{α}{1 - α} \frac{y}{x},

$\text{MRS}(x,y) = \frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{y}{x},$

das ist nicht konstant. Die MRS ist jedoch homogen vom Grad Null, da

MRS (λ x, λ y) = MRS (x, y) .

$\text{MRS}(\lambda x, \lambda y) = \text{MRS}(x,y).$

Die Homogenität des Grades Null der MRS ist eine allgemeine Eigenschaft homothetischer Präferenzen. Dies folgt aus der Tatsache, dass (kontinuierliche) homothetische Präferenzen eine Gebrauchsdarstellung haben, die homogen vom ersten Grad ist.

Umgekehrt sind Präferenzen homothetisch, wenn die MRS vom Grad Null homogen ist. Daher sind Präferenzen, die eine konstante MRS aufweisen, auch homothetisch. Der Beweis ist ein wenig kompliziert. Dafür beziehe ich mich auf Sie Lemma $1$ von "Dualität und die Struktur von Nutzenfunktionen" von Lau (1970). (Beachten Sie, dass Lau eine andere Definition von Homothetik angibt als Sie. Die Definition von Lau und Ihre sind jedoch gleichwertig, wenn die Präferenzen kontinuierlich sind - was sie sein müssen, damit die MRS genau definiert ist.)

— Theoretischer Ökonom
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Vielen Dank für die Antworten! Ich habe in meiner Frage sicherlich vergessen, "konstante Proportionenausdehnung entlang der Strahlen" zu schreiben, aber können Sie mir beim Beweis helfen: Wenn die MRS vom Grad Null homogen ist, dann ist die Präferenz homothetisch? Danke noch einmal!

— Alessandro Rivello

@AlessandroRivello Welche Definition von homothetischen Präferenzen verwenden Sie? Die Eigenschaft bezüglich MRS wird manchmal als Definition verwendet.

— Theoretischer Ökonom

Ich benutze dies: Definition 3.B.6: monotone Präferenzbeziehung

⪰

$\succeq$ auf

X = R_{+}^{L}

$X=\mathbb{R}^{L}_{+}$ ist homothetisch, wenn alle Indifferenzmengen durch proportionale Ausdehnung entlang der Strahlen in Beziehung stehen; das heißt, wenn

x \sim y

$x \sim y$ dann

α x \sim α y

$\alpha x \sim \alpha y$ für jeden

α \geq 0

$\alpha \ge 0$ . Welches ist die Definition in Mas-Collel et al. Entschuldigung, ich weiß nicht, wie ich hier einen Druckbildschirm platzieren soll.

— Alessandro Rivello

@Oliv wenn du mir auch dabei helfen könntest wäre das sehr nett.

— Alessandro Rivello

@AlessandroRivello Entschuldigung für die Verzögerung; Es war ein paar arbeitsreiche Tage. Bitte beachten Sie die Bearbeitung meiner Antwort.

— Theoretischer Ökonom