Nash-Gleichgewicht in 2-Bieter-Auktion

Ich versuche das Nash-Gleichgewicht einer Auktion mit zwei Bietern zu finden, bei der der Höchstbietende das Objekt gewinnt, aber beide Bieter das verlorene Gebot zahlen. Hier folgt jeder Bieter der gleichen Gebotsstrategie β, die eine streng ansteigende und differenzierbare Abbildung von Werten zu Geboten darstellt.

Ich kann das Nash-Gleichgewicht des Spiels nicht finden. Kann mir jemand dabei helfen? Ist das eine Art Standardauktion?

Unter der Annahme, dass die Auktion ein reines Strategiegleichgewicht aufweist, können wir das Problem wie folgt aufstellen:

$v_i\sim F$$[\underline{v},\overline{v}]$$b(v)$

$i$$\widetilde{v}$$v_j<\widetilde{v}$$i$

$$U_i=-[1-F(\widetilde{v})]b(\widetilde{v})+\int_0^{\widetilde{v}}\! \left(v_i-b(v_j)\right)F'(v_j)\,dv_j$$

$i$$b(\widetilde{v})$$i$$\widetilde{v}$$\widetilde{v}$

$\widetilde{v}$$i$

$$\frac{\partial U_i}{\partial \widetilde{v}}=-[1-F(\widetilde{v})] b'(\widetilde{v})+v F'(\widetilde{v})=0.$$

$i$$\widetilde{v}=v_i$$i$

$$-[1-F(v)] b'(v)+v F'(v)=0.$$

$$b(v)=b(\underline{v})+\int_{\underline{v}}^v\!\frac{xF'(x)}{1-F(x)}\,dx.$$

$$b'(v)=\frac{vF'(v)}{1-F(v)}>0$$ $b(\underline{v})$$b(\underline{v})=0$$\underline{v}$