Die Konstruktion stochastischer Prozesse verstehen

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Ich habe stochastische Prozesse gesehen, die folgendermaßen modelliert / konstruiert wurden.

Betrachten Sie den Wahrscheinlichkeitsraum und lassen Sie die (messbare) Transformation , die wir verwenden, um die Entwicklung des Stichprobenpunkts über die Zeit zu modellieren . Sei auch der Zufallsvektor . Dann wird der stochastische Prozess verwendet, um eine Folge von Beobachtungen über die Formel oder zu modellieren $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Wie soll ich die Beispielpunkte und die Transformation in dieser Konstruktion verstehen ? (Könnte in bestimmten Fällen so etwas wie eine Folge von Schocks sein?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Wie würde ich diese beiden Prozesse für mehr Konkretheit in dieser Notation schreiben?

Prozess 1: wobei .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

Prozess 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
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Diese von Ihnen beschriebene Konstruktion ist nicht vollständig allgemein. Tatsächlich charakterisiert es streng stationäre Zeitreihen. Sie sehen, dass es verschiebungsinvariant ist. Dieser Operator ist im wesentlichen ein Schichtoperator. $S$

Zum Vergleich hier die übliche Definition von zeitdiskreten Prozessen:

Definition Ein stochastischer Prozess ist eine Folge messbarer Borel-Karten auf einem Wahrscheinlichkeitsraum . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Für das, was Sie beschreiben, haben Sie eine feste messbare Borel-Karte . Es ist das zugrunde liegende Maß, das sich gemäß . Die Karte induziert ein neues "Push-Forward-Maß" (im Sprachgebrauch) für indem nur Vorbilder genommen werden: Definieren Sie ein Maß durch $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

Der Zufallsvektor ist also konstruktionsbedingtSie induzieren das gleiche Push-Forward-Maß für . Tun Sie dies mit für jedes und Sie haben Ihre Zeitreihen. $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

Was Ihre Frage zu , sollte die Überprüfung des Beweises für die andere Richtung dies klarstellen - dh jede streng stationäre Zeitreihe muss für einige , und . $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

Der grundlegende Punkt ist, dass ein stochastischer Prozess aus allgemeiner Sicht ein Wahrscheinlichkeitsmaß für die Menge seiner möglichen Realisierungen ist. Dies zeigt sich zum Beispiel in Wieners Konstruktion der Brownschen Bewegung; er konstruierte ein Wahrscheinlichkeitsmaß für . Im Allgemeinen ist ein ein Beispielpfad und besteht aus allen möglichen Beispielpfaden. $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

Nehmen Sie zum Beispiel die beiden oben genannten Prozesse. Sie sind streng stationär, wenn wir sagen, die Innovationen sind Gaußsch. (Jede kovarianzstationäre Zeitreihe, die von Gaußschen Innovationen angetrieben wird, ist streng stationär.) Die Konstruktion würde dann damit beginnen, dass die Menge aller Sequenzen, die durch Koordinatenkarten erzeugte Algebra und die geeignete Maßnahme. Für den Prozess des weißen Rauschens (2) ist nur ein Produktmaß für ein unendliches Produkt. $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Referenz Diese Charakterisierung / Konstruktion durch Verschiebung streng stationärer Zeitreihen wird in White's Asymptotic Theory for Econometricians erwähnt .

— Michael
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Danke für die Antwort und den Hinweis. Entschuldigen Sie auch die langsame Antwort hier. Das macht Sinn. Um nur zu erwähnen, scheint es mir gemäß der Referenz (White's Book), dass diese Konstruktion instationäre Prozesse zulässt. Def. 3.27 definiert eine Transformation als Maßerhaltung, wenn für alle . Dann sagt Prop. 3.29, dass der Prozess stationär ist , wenn das Maß bewahrt.

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

— jmbejara

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@jmbejara Ja, guter Punkt. Es ist eigentlich ganz allgemein - indem man als kanonischen Pfadraum ( ), ein unendliches Produkt, auswählt und als Verschiebung definiert, kann jedes Zeitreihengesetz in realisiert werden solche Form.

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

— Michael

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Es ist möglich, Fälle zu betrachten, in denen ein Punkt im unendlichen Dimensionsraum ist, z. B. eine Schocksequenz, aber eine solche Interpretation wäre unproduktiv, da Sie dann keine Vereinfachungen im Vergleich zur direkten Spezifikation des Prozesses im gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum erhalten und nur produzierte unerwünschte zusätzliche Einheiten, um die Angelegenheit zu komplizieren. $\omega$

Dieser Ansatz eignet sich viel besser für Anwendungen auf Punkte im endlichen dimensionalen Raum. Dann konstruieren Sie durch diesen Ansatz einen zeithomogenen Markov-Prozess und wird als Punkt in seinem Zustandsraum interpretiert, beispielsweise als aktuelle Position des Prozesses oder als mehrere letzte Positionen. Die Überlegungen zur Auslegung von S sind zu verschieben, bis Beispiele erörtert werden. $\omega$

Daher gehe ich davon aus, dass eine iid-Folge von Zufallsvariablen auf dem in der Frage definierten Wahrscheinlichkeitsraum ist. Dann kann der zweite Prozess wie folgt definiert werden: $\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ Der obere Index bezeichnet hier die Mehrfachanwendung des Operators.

Das erste Beispiel ist eine Ausarbeitung des ersten:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ Ein niedrigerer Index bezeichnet hier die jeweilige Komponente des entsprechenden Vektors.

Wie wir gesehen haben, ist die Operation S selbst ziemlich mehrdeutig und schwer vernünftig zu interpretieren. Der zu beachtende Punkt ist jedoch, dass es definiert, dass die Transformation erhalten bleibt und ein Bild darunter aufgenommen wird, wodurch die Menge mit demselben Maß erzeugt wird. Diese Funktionsdynamik misst also unseren Zustandsraum in der Zeit.

— Nikita Toropov
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Er denkt nur an als deterministisch und als nicht beobachtbar. Dann beobachten wir als eine Form unvollständiger Informationen über . und helfen uns dann, eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung über abzuleiten . $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Pat W.
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