Wie finde ich die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer Einzelbeobachtung für ein multinomiales Logit-Modell?

Ich weiß, wie hoch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion eines multinomialen Logit-Modells ist. Ich weiß jedoch nicht, wie hoch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer Einzelbeobachtung i, f (yi | xi) für ein multinomiales Logitmodell ist. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand erklären könnte, wie man die Antwort bekommt und die richtige Antwort kennt.

econometrics

— Niamh45
quelle

Ich stimme dafür, diese Frage als "Off-Topic" zu schließen, da dies zu Cross-Validated gehört .

— Luchonacho

Ich stimme nicht zu, ich habe überlegt, in welche Kategorie meine Frage gestellt werden soll. Ich studiere Ökonometrie und das Thema multinomialer Logit-Modelle wird in allen meinen Lehrbüchern und von meinem Professor behandelt. Es ist richtig, dass diese Frage auch im Cross Validated Forum gestellt werden kann, aber ich möchte Sie bitten, meine Frage nicht zu löschen, falls mir jemand in Ökonometrie oder quantitativer Ökonomie helfen kann. Danke

— Niamh45

Ich bin mit @Amy einverstanden, dass diese Frage zum Thema gehört. Wie im Hilfeabschnitt erläutert, ist Ökonometrie / Statistik hier aktuell, obwohl es Überschneidungen mit cross-validated.se gibt: economics.stackexchange.com/help/on-topic

— jmbejara 16.10.17

@jmbejara Wir fördern nur Ineffizienz. Gegenwärtig ist die Frage nicht spezifisch für die Wirtschaft und es ist wahrscheinlich, dass mehr Menschen im Lebenslauf davon profitieren. Mit einer solchen Politik ist jede einzelne ökonometrische CV-Frage, die hier nicht gestellt wurde, thematisch. Natürlich nicht die beste Politik.

— Luchonacho

@luchonacho Das Zulassen der Überlappung ist beabsichtigt und gilt nicht nur für die Wirtschaft. Wie dieser Beitrag ( meta.stackexchange.com/a/4713/299907 ) belegt, geschieht dies im Allgemeinen während des Stapelaustauschs . Ich mag die aktuelle Politik.

— Jmbejara

$i$ $K$ $\varepsilon_{i,k}$ $\boldsymbol X_i$ $\varepsilon_{i,k}$ $k$ $\boldsymbol X_i$

Dies wird im folgenden Teil des entsprechenden Wikipedia- Artikels erläutert :

Es ist auch möglich, eine multinomiale logistische Regression als ein latentes Variablenmodell zu formulieren, das dem für die binäre logistische Regression beschriebenen bidirektionalen latenten Variablenmodell folgt. Diese Formulierung ist in der Theorie der diskreten Auswahlmodelle üblich und erleichtert den Vergleich der multinomialen logistischen Regression mit dem zugehörigen multinomialen Probit-Modell sowie dessen Erweiterung auf komplexere Modelle.

$i$ $k$ $Y_{i,k}^*$

$\begin{aligned} Y_{i, 1}^{*} & = β_{1} \cdot X_{i} + ε_{1} \\ Y_{i, 2}^{*} & = β_{2} \cdot X_{i} + ε_{2} \\ \dots \\ Y_{i, K}^{*} & = β_{K} \cdot X_{i} + ε_{K} \end{aligned}$ $\begin{align} Y_{i,1}^{\ast} &= \boldsymbol\beta_1 \cdot \mathbf{X}_i + \varepsilon_1 \, \\ Y_{i,2}^{\ast} &= \boldsymbol\beta_2 \cdot \mathbf{X}_i + \varepsilon_2 \, \\ \cdots & \\ Y_{i,K}^{\ast} &= \boldsymbol\beta_K \cdot \mathbf{X}_i + \varepsilon_K \, \\ \end{align}$
$\varepsilon_k \sim \operatorname{EV}_1(0,1),$

$i$ $k$ $Y_i$ $k$ $Y_{i,k}^{\ast}$ $k$
$\begin{aligned} Pr (Y_{i} = 1) & = Pr (Y_{i, 1}^{*} > Y_{i, 2}^{*} and Y_{i, 1}^{*} > Y_{i, 3}^{*} and \dots and Y_{i, 1}^{*} > Y_{i, K}^{*}) \\ Pr (Y_{i} = 2) & = Pr (Y_{i, 2}^{*} > Y_{i, 1}^{*} and Y_{i, 2}^{*} > Y_{i, 3}^{*} and \dots and Y_{i, 2}^{*} > Y_{i, K}^{*}) \\ \dots \\ Pr (Y_{i} = K) & = Pr (Y_{i, K}^{*} > Y_{i, 1}^{*} and Y_{i, K}^{*} > Y_{i, 2}^{*} and \dots and Y_{i, K}^{*} > Y_{i, K - 1}^{*}) \end{aligned}$ $\begin{align} \Pr(Y_i = 1) &= \Pr(Y_{i,1}^{\ast} > Y_{i,2}^{\ast} \text{ and } Y_{i,1}^{\ast} > Y_{i,3}^{\ast}\text{ and } \cdots \text{ and } Y_{i,1}^{\ast} > Y_{i,K}^{\ast}) \\ \Pr(Y_i = 2) &= \Pr(Y_{i,2}^{\ast} > Y_{i,1}^{\ast} \text{ and } Y_{i,2}^{\ast} > Y_{i,3}^{\ast}\text{ and } \cdots \text{ and } Y_{i,2}^{\ast} > Y_{i,K}^{\ast}) \\ \cdots & \\ \Pr(Y_i = K) &= \Pr(Y_{i,K}^{\ast} > Y_{i,1}^{\ast} \text{ and } Y_{i,K}^{\ast} > Y_{i,2}^{\ast}\text{ and } \cdots \text{ and } Y_{i,K}^{\ast} > Y_{i,K-1}^{\ast}) \\ \end{align}$
Oder äquivalent:
$\begin{aligned} Pr (Y_{i} = 1) & = Pr (max (Y_{i, 1}^{*}, Y_{i, 2}^{*}, \dots, Y_{i, K}^{*}) = Y_{i, 1}^{*}) \\ Pr (Y_{i} = 2) & = Pr (max (Y_{i, 1}^{*}, Y_{i, 2}^{*}, \dots, Y_{i, K}^{*}) = Y_{i, 2}^{*}) \\ \dots \\ Pr (Y_{i} = K) & = Pr (max (Y_{i, 1}^{*}, Y_{i, 2}^{*}, \dots, Y_{i, K}^{*}) = Y_{i, K}^{*}) \end{aligned}$ $\begin{align} \Pr(Y_i = 1) &= \Pr(\max(Y_{i,1}^{\ast},Y_{i,2}^{\ast},\ldots,Y_{i,K}^{\ast})=Y_{i,1}^{\ast}) \\ \Pr(Y_i = 2) &= \Pr(\max(Y_{i,1}^{\ast},Y_{i,2}^{\ast},\ldots,Y_{i,K}^{\ast})=Y_{i,2}^{\ast}) \\ \cdots & \\ \Pr(Y_i = K) &= \Pr(\max(Y_{i,1}^{\ast},Y_{i,2}^{\ast},\ldots,Y_{i,K}^{\ast})=Y_{i,K}^{\ast}) \\ \end{align}$

Bearbeiten: Manchmal sieht die Schreibweise so aus: wobei bedeutet, dass das Individuum die Wahl trifft, ist ziemlich präzise, sobald die entsprechende Notation definiert ist. Wenn Sie nach einer nützlichen Möglichkeit suchen, dies in eine Wahrscheinlichkeitsfunktion umzusetzen, sehen Sie möglicherweise : wobei eine Indikatorfunktion ist, die gleich 1 ist, wenn die Wahl und ansonsten Null und wähle

P r (i \to k) = Pr (max (Y_{i, 1}^{*}, Y_{i, 2}^{*}, \dots, Y_{i, K}^{*}) = Y_{i, k}^{*}),

$Pr( i \rightarrow k) = \Pr(\max(Y_{i,1}^{\ast},Y_{i,2}^{\ast},\ldots,Y_{i,K}^{\ast})=Y_{i,k}^{*}),$

i \to k

$i \rightarrow k$

i

$i$

k

$k$

P_{i} = \prod_{k = 1}^{K} P r (i \to k)^{1_{i \to k}},

$P_i = \prod_{k=1}^K Pr( i \rightarrow k)^{\mathbb 1_{i \rightarrow k}},$

1_{i \to k}

$\mathbb 1_{i \rightarrow k}$

i

$i$

k

$k$

P_{i}

$P_i$ ist die PMF der Beobachtung, die mit dem Individuum assoziiert ist .

i

$i$

Bearbeiten 2:

Eine explizite Formel finden Sie im gleichen Wikipedia-Artikel. Schauen Sie sich zum Beispiel den folgenden Abschnitt an:

Folglich ist es üblich, (oder alternativ einen der anderen Koeffizientenvektoren) zu setzen. Im Wesentlichen setzen wir die Konstante so, dass einer der Vektoren zu 0 wird und alle anderen Vektoren in die Differenz zwischen diesen Vektoren und dem von uns gewählten Vektor transformiert werden. Dies ist gleichbedeutend mit dem "Schwenken" um eine der Entscheidungen und dem Untersuchen, wie viel besser oder schlechter alle anderen Entscheidungen im Verhältnis zu den Entscheidungen sind, die sich drehen. Mathematisch transformieren wir die Koeffizienten wie folgt: $C = -\boldsymbol\beta_K$ $K$ $K-1$
$\begin{aligned} β_{1}^{'} & = β_{1} - β_{K} \\ \dots & \dots \\ β_{K - 1}^{'} & = β_{K - 1} - β_{K} \\ β_{K}^{'} & = 0 \end{aligned}$ $\begin{align} \boldsymbol\beta'_1 &= \boldsymbol\beta_1 - \boldsymbol\beta_K \\ \cdots & \cdots \\ \boldsymbol\beta'_{K-1} &= \boldsymbol\beta_{K-1} - \boldsymbol\beta_K \\ \boldsymbol\beta'_K &= 0 \end{align}$
Dies führt zu folgenden Gleichungen:
$\begin{aligned} Pr (Y_{i} = 1) & = \frac{e^{β_{1}^{'} \cdot X_{i}}}{1 + \sum_{k = 1}^{K - 1} e^{β_{k}^{'} \cdot X_{i}}} \\ \dots & \dots \\ Pr (Y_{i} = K - 1) & = \frac{e^{β_{K - 1}^{'} \cdot X_{i}}}{1 + \sum_{k = 1}^{K - 1} e^{β_{k}^{'} \cdot X_{i}}} \\ Pr (Y_{i} = K) & = \frac{1}{1 + \sum_{k = 1}^{K - 1} e^{β_{k}^{'} \cdot X_{i}}} \end{aligned}$ $\begin{align} \Pr(Y_i=1) &= \frac{e^{\boldsymbol\beta'_1 \cdot \mathbf{X}_i}}{1 + \sum_{k=1}^{K-1} e^{\boldsymbol\beta'_k \cdot \mathbf{X}_i}} \, \\ \cdots & \cdots \\ \Pr(Y_i=K-1) &= \frac{e^{\boldsymbol\beta'_{K-1} \cdot \mathbf{X}_i}}{1 + \sum_{k=1}^{K-1} e^{\boldsymbol\beta'_k \cdot \mathbf{X}_i}} \, \\ \Pr(Y_i=K) &= \frac{1}{1 + \sum_{k=1}^{K-1} e^{\boldsymbol\beta'_k \cdot \mathbf{X}_i}} \, \\ \end{align}$

— jmbejara
quelle