Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, lautet die Antwort nein. Erwägen
$$
A (h) = \ left (\ begin {array} {ccc}
1 & amp; 1 & amp; 0 \\
0 & amp; 2 & amp; 0 \\
2 + 2h & amp; 0 & amp; 3 \ end {array} \ right)
$$
Für das durch $ A (0) $ definierte Spiel ergibt der Vektor $ a ^ t (0) = \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}, 0 \ right) $ ein Gleichgewicht . Für jedes $ h & gt; 0 $ jedoch
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A (h) \ cdot a (0) = \ left (\ begin {array} {ccc}
1 \\
1 \\
1 + h \ end {array} \ right),
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$ a (0) $ ist also kein Gleichgewicht mehr. Wenn Sie mit den Wahrscheinlichkeiten herumspielen, werden Sie feststellen, dass nahe gelegene Strategien ebenfalls kein Gleichgewicht darstellen. Wenn Sie also eine positive Folge $ h_1, h_2, ... $ haben, so dass $ \ lim_ {n \ to \ infty} h_n = 0 $ ist, können Sie keine Folge von Vektoren $ a (h_1), a (h_2) auswählen. , ... $ so, dass sie Gleichgewichtsstrategien ihrer jeweiligen Spiele sind $ A (h_1), A (h_2), ... $ und
$$
\ lim_ {n \ to \ infty} a (h_n) = a (0).
$$
In diesem Gegenbeispiel habe ich verwendet, dass eine Aktion, die niemals in $ a (0) $ gespielt wurde, die gleiche Auszahlung erbrachte wie Aktionen mit positiven Unterstützungen. Wenn dies nicht der Fall ist, wäre die Antwort auf Ihre Frage meiner Meinung nach positiv. Hier ist ein Beweis für den Fall, dass $ a & gt; 0 $ ist.
Da $ a ^ t $ die beste Antwort auf $ a $ ist, die wir haben
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A \ cdot a = \ underline {1} \ cdot c
$$
Dabei ist $ \ underline {1} $ ein Vektor mit $ 1 $ bei allen Koordinaten und $ c \ in \ mathbb {R} $.
Wenn $ A $ nicht singulär ist, dann
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a = A ^ {- 1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c.
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Da $ a $ ein Wahrscheinlichkeitsvektor ist, wird $ c $ eindeutig durch $ A $ bestimmt:
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1 = \ underline {1} ^ t \ cdot a = \ underline {1} ^ t \ cdot A ^ {- 1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c
$$
Ich werde $ A (h) $ verwenden, um die gestörte Matrix zu bezeichnen, und $ a (h) $, $ c (h) $, um die zugehörigen Vektoren zu bezeichnen. Die ursprüngliche Matrix und die Vektoren treten bei $ h = 0 $ auf. Da die Matrixinversion kontinuierlich ist
$$
\ lim_ {h \ bis 0} c (h) = \ lim_ {h \ bis 0} \ frac {1} {\ unterstrichen {1} ^ t \ cdot A (h) ^ {- 1} \ cdot \ unterstrichen { 1}} = \ frac {1} {\ underline {1} ^ t \ cdot A (0) ^ {- 1} \ cdot \ underline {1}} = c (0).
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Ähnlich
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\ lim_ {h \ bis 0} a (h) = \ lim_ {h \ bis 0} A (h) ^ {- 1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c (h) = A (0) ^ { -1} \ cdot \ underline {1} \ cdot c (0) = a (0).
$$
Dies ist kein genauer Beweis. Um genau zu sein, müsste man die Norm einer Matrix spezifizieren und dann, um zu beweisen, dass die obigen Grenzen existieren, müsste man eine Bedingung wie haben
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\ lim_ {h \ bis 0} || A (h) || = || A (0) || \ neq 0.
$$