Differenzierung der Wertefunktion in Burdett Mortensen (1998)

8

Ich mache mich gerade auf den Weg durch Burdetts und Mortensens klassisches Papier über die Arbeitssuche. Was eine einfache Aufgabe sein sollte, einen Ausdruck für den Reservierungslohn zu finden, wird durch die Anwesenheit des Max-Operators etwas komplizierter. Wir stehen vor der folgenden Bellman-Gleichung für den Wert eines Jobs, der einen Lohn zahlt . Die Bellman-Gleichungen sind Standard. Der Wert eines Jobs, der zahlt, besteht aus dem Lohn plus dem erwarteten Gewinn aus der Suche und Suche nach einem besseren Job, der durch die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Jobangebot einhergeht, abgezinst wird plus dem Verlust aufgrund von Arbeitslosigkeit, wenn der Job mit einer Rate zerstört wird . Der Wert der Arbeitslosigkeit $w$ $w$ $w$ $\lambda_1$ $\delta$ $V_0$ besteht aus dem Arbeitslosengeld zuzüglich des erwarteten Gewinns aus der Beschäftigung, abgezinst durch die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Angebot . Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Angebot abgegeben wird, unterschiedlich ist, je nachdem, ob jemand bereits beschäftigt oder arbeitslos ist. Die Verteilung der Angebote ist gegeben durch Da in zunimmt und unabhängig ist, kennen wir einen Reservierungslohn existiert so, dass wenn $b$ $\lambda_0$ $F$

r V_{1} (w) = w + λ_{1} [\int max {V_{1} (w), V_{1} (\tilde{x})} - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)]

$\begin{equation} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{equation}$

r V_{0} = b + λ_{0} [\int max {V_{0}, V_{1} (\tilde{x})} d F (\tilde{x}) - V_{0}]

$\begin{equation}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{equation}$

V_{1} (w)

$V_1(w)$

w

$w$

V_{0}

$V_0$

w > R ⟹ V_{1} (w) > V_{0}

$w>R\implies V_1(w)>V_0$ ,

w < R ⟹ V_{1} (w) < V_{0}

$w<R\implies V_1(w)<V_0$ und

V_{1} (R) = V_{0}

$V_1(R)=V_0$ . Standardargumente (Teilintegration) zeigen, dass

R - b = (λ_{0} - λ_{1}) \int_{R}^{\infty} V_{1}^{'} (\tilde{x}) [1 - F (\tilde{x})] d \tilde{x}

$\begin{equation} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\;d\tilde{x} \end{equation}$ von hier aus möchte ich die Ableitung der ersten Gleichung nehmen und nach

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$ . Wenn ich jedoch die Leibniz-Integrationsregel verwende, muss der Integrand differenzierbar sein. Das Maximum von zwei stetigen Funktionen ist normalerweise nicht differenzierbar, wenn sie gleich sind, also habe ich ein Problem. Wenn ich annehme, dass ich über alle

\tilde{x} \geq w

$\tilde{x}\geq w$ dann

V_{1} (\tilde{x}) \geq V_{1} (w)

$V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (Lohnangebote, die einen Arbeitnehmer zum Arbeitsplatzwechsel veranlassen) und das Ergebnis folgt der Leibniz-Regel. Aber es gibt Löhne in der Verteilung, die nicht akzeptiert werden, und dieses Derivat wird nicht gelten. Das Derivat wird Ich stelle mir I Ich vermisse etwas, aber ich bin mir nicht sicher, was. Wenn mir jemand einen Rat geben könnte, würde ich es wirklich schätzen.

V^{'} (\tilde{x}) = \frac{1}{r + δ + λ_{1} (1 - F (\tilde{x}))}

$\begin{equation} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{equation}$

labor-economics search-and-matching

— Kennzeichen
quelle

2

Wenn Sie das Integral eines -Operators verwenden, müssen Sie das Integral meiner Meinung nach in zwei separate Integrale mit unterschiedlichen Unterstützungen aufteilen. $\max_{\{\cdot\}}$

Selbst wenn Ihre Wertfunktion kompliziert ist und es keine Differenzierbarkeit gibt, benötigen Sie nur Kontinuität, damit eine Lösung zur Lösung des Optimierungsproblems vorhanden ist.

— Kitsune Kavallerie
quelle

0

Hier ist mein Versuch, bei dem ich der Einfachheit halber eine absolute Obergrenze für die Unterstützung von , annehme. $F$ $F(\overline{w})=1$

Schreiben Sie die erste Gleichung neu als wobei

r V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (\tilde{x}) d F (\tilde{x}) + \underset{I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} - λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) + δ [V_{0} - V_{1} (w)],

$\begin{equation} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{equation}$

- λ_{1} \int_{0}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) = - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1} (w) d F (\tilde{x}) - \underset{I I}{\underset{⏟}{λ_{1} \int_{0}^{w} V_{1} (w) d F (\tilde{x})}} .

$\begin{equation} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{equation}$

Die Terme und heben sich auf, so dass das Anordnen Wenn wir Leibniz 'Regel wissen anwenden, erhalten wir wobei die letzte Gleichheit aus folgt . Das nach ergibt die gewünschte Lösung. $I$ $II$

(δ + r) V_{1} (w) = w + λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} [V_{1} (\tilde{x}) - V_{1} (w)] d F (\tilde{x}) + δ V_{0} .

$\begin{equation} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{equation}$

(δ + r) V_{1}^{'} (w) = 1 - λ_{1} \int_{w}^{\bar{w}} V_{1}^{'} (w) d F (\tilde{x}) = 1 - λ_{1} V_{1}^{'} (w) [1 - F (w)],

$\begin{equation} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{equation}$

F (\bar{w}) = 1

$F(\overline{w})=1$

V_{1}^{'} (w)

$V_1'(w)$

— daniel_EDI
quelle