Sind Cobb-Douglas-Vorlieben homothetisch?

Unser Vortrag definierte eine Präferenz homothetisch , wenn Folgendes zutrifft:

$$ (x_1, x_2) \ thicksim (y_1, y_2) \ Linker rechtwinkliger Pfeil (kx_1, kx_2) \ thicksim (ky_1, ky_2) $$

Cobb-Douglas Voreinstellungen können als nützliche Funktionen der folgenden Form angezeigt werden:

$$ u (x_1, x_2) = x_1 ^ a \ cdot x_2 ^ b $$ Deshalb: $$ (x_1, x_2) \ thicksim (y_1, y_2) \\ \ Leftrightarrow x_1 ^ a \ cdot x_2 ^ b = y_1 ^ a \ cdot y_2 ^ b \\ \ Leftrightarrow k ^ ax_1 ^ a \ cdot k ^ bx_2 ^ b = k ^ ay_1 ^ a \ cdot k ^ von_2 ^ b \\  \ Leftrightarrow (kx_1, kx_2) \ thicksim (ky_1, ky_2) $$

Mit dieser Argumentation der Cobb-Douglas Präferenzen sollte homothetisch sein .

Das Wikipedia-Artikel Über Homothetische Vorlieben jedoch definiert eine Präferenz zu sein homothetisch , wenn sie durch eine Utility-Funktion dargestellt werden können und Folgendes gilt:

$$ u (kx_1, kx_2) = k \ cdot u (x_1, x_2) $$ Und ich bin mir ziemlich sicher, dass das so ist nicht wahr zum Cobb Douglas Präferenzen:

$$ u (kx_1, kx_2) = (kx_1) ^ a (kx_2) ^ b = k ^ {a + b} x_1 ^ a x_2 ^ b \ neq k \ cdotu (x_1, x_2) $$

Was fehlt mir hier? Sind die Definitionen nicht gleichwertig? Habe ich etwas falsch berechnet?

Notiere dass der Wikipedia-Artikel ist sehr spezifisch:

[...] eine Präferenz definiert werden homothetisch , wenn sie KÖNNEN vertreten sein durch EIN Hilfsfunktion [...]

Sie haben eine bestimmte Dienstprogrammfunktion ausgewählt, um Ihre Cobb-Douglas-Voreinstellungen darzustellen. Es gibt jedoch unendlich viele andere. Alle monotonen Transformationen Ihrer Utility-Funktion haben dieselbe Präferenz. Nehmen $$ \ hat {u} (x_1, x_2) = \ left (u (x_1, x_2) \ right) ^ {\ frac {1} {a + b}} = x_1 ^ {\ frac {a} {a + b} } \ cdot x_2 ^ {\ frac {b} {a + b}}. $$ Da $ \ hat {u} $ eine monotone Transformation von $ u $ ist, repräsentiert sie dieselbe Einstellung. Es ist unkompliziert zu prüfen, ob $ \ hat {u} $ die im Wiki-Artikel angegebene Bedingung erfüllt. Es gibt also tatsächlich eine solche Gebrauchsfunktion, die auch die Präferenz darstellt, daher ist die Präferenz homothetisch.