Marshallsche Forderungen nach Leontief-Produktionsfunktionen mit unterschiedlichen Kräften zu finden

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Beim Versuch, ein Übungsproblem zu lösen, bin ich mir nicht sicher, ob ich in die richtige Richtung gehe, da meine Lösung ziemlich chaotisch erscheint. Mit der folgenden Utility-Funktion

, finden die Marshallian Ansprüche. $u(x,y)=min\{x^{1/2},2y\}$

Meine Antwort:

Da Leontief- perfekte Komplemente ist, muss der Fall sein , dass , diese in eine Budget Substituieren ergibt die folgende: $x^{1/2}=2y$

, wobei w das Gesamteinkommen ist. Unter und Quadrierung Dies ergibt . Wenn Sie dies in eine Einschränkung einfügen, erhalten Sie: $p_x \times x + p_y \times y = w$ $x^{1/2}=2y$ $x=4y^2$

, an diesem Punkt wendete ich die quadratische Formel an und erhielt eine Anforderungsfunktion für y wie folgt: $p_x \times 4y^2 + p_y \times y = w$

y = \frac{- p_{y} \pm \sqrt{p_{y}^{2} + 16 p_{x} w}}{8 p_{x}}

$y = \frac{-p_y \pm \sqrt{p_y^2 + 16 p_x w}}{8p_x}$

Dies scheint mir chaotisch zu sein. Ich schätze, ich kann die Minus-Seite des Quadrats ausschließen, was bedeuten würde, dass y negativ ist. Auch wenn eine Bestätigung, dass dies der richtige Ansatz ist, sehr willkommen wäre.

Vielen Dank!

microeconomics

— jbrau
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Sie können ausschließen, dass y negativ ist, weil die Preise für knappe Waren positiv sind. Sonst wären sie nicht knapp. Sie würden frei sein. Sie können auch ausschließen, dass sie Null sind, denn wenn dies der Fall wäre, gäbe es zunächst kein Problem.

— Toby

Haben Sie darüber nachgedacht, eine Antwort zu akzeptieren?

— Luchonacho

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Wie Amit sagte, ist Ihre Antwort richtig. Wie Toby sagte, können Sie negative Ausgaben ausschließen.

Es gibt nicht viel Einsicht, die man wirklich als Antwort hinzufügen könnte. Ich war jedoch auch ziemlich verwirrt, dass ein so einfaches Problem eine komplexe Antwort gibt. Wie sich herausstellt, erhalten Sie nur dann eine lineare Nachfrage (nach Einkommen), wenn die Exponenten für beide Komponenten gleich sind.

Betrachten Sie den allgemeineren Fall:

U (x, y) = min {a x^{α}, b y^{β}}

$U(x,y) = \text{min}\{ax^\alpha,by^\beta\}$

Optimalität erforderlich (* Notation für optimale Werte weggelassen)

a x^{α} = b y^{β}

$ax^\alpha = by^\beta\$

Das Ersetzen eines davon in der Budgetbeschränkung führt zu:

p_{x} x + p_{y} {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{β}} x^{\frac{α}{β}} = w

$p_x x + p_y \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\beta}} x^{\frac{\alpha}{\beta}} = w$

$\alpha=\beta$

x = \frac{w}{p_{x} + p_{y} {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{α}}}

$x = \frac{w}{p_x + p_y\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{\alpha}}}$

Es scheint, dass eine algebraische Lösung für den allgemeinen (uneingeschränkten) Fall nicht abgeleitet werden kann, da das Polynom, das Sie erhalten, möglicherweise irrationale Potenzen hat.

— Luchonacho
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$p_x =1$

y = \frac{- p_{y}}{8} + \sqrt{(p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w}

$y = \frac{-p_y}{8} + {\sqrt{(p_y/8)^2 + \frac14 w}}$

⟹ \frac{\partial y}{\partial p_{y}} = - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{2 p_{y}}{8^{2}}

$\implies \frac {\partial y}{\partial p_y} = -\frac {1}{8}+ \frac 12\cdot\left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {2p_y}{8^2}$

= - \frac{1}{8} \cdot [1 - {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{p_{y}}{8}]

$= -\frac 18 \cdot \left[ 1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8}\right]$

Damit diese Ableitung negativ ist, möchten wir sie in Klammern als positiv ausdrücken. Also brauchen wir

1 - {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{p_{y}}{8} > 0

$1- \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8} > 0$

⟹ 1 > {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{- 1 / 2} \cdot \frac{p_{y}}{8}

$\implies 1> \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{-1/2}\cdot \frac {p_y}{8}$

⟹ {((p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w)}^{1 / 2} > \frac{p_{y}}{8}

$\implies \left((p_y/8)^2 + \frac14 w\right)^{1/2} > \frac {p_y}{8}$

⟹ (p_{y} / 8)^{2} + \frac{1}{4} w > (p_{y} / 8)^{2}

$\implies (p_y/8)^2 + \frac14 w > (p_y/8)^2$

was immer gilt. Wir sehen also, dass selbst diese "seltsam aussehende" Utiity-Funktion mit ihren "chaotischen" Nachfragefunktionen immer den negativen Effekt des Preises auf die nachgefragte Menge widerspiegelt.

— Alecos Papadopoulos
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