Log-Linearisierung der Euler-Gleichung mit einem Erwartungsterm

Es stehen einige Online-Ressourcen zur Verfügung, die bei der Protokolllinearisierung helfen (z. B. hier oder hier ). Die Protokolllinearisierung, wenn es sich um eine Erwartung handelt, ist jedoch etwas schwierig, da das Protokoll den Erwartungsoperator nicht einfach "durchlaufen" kann. Könnte jemand in diesem Beispiel mit der Algebra helfen?

Ich habe die Euler-Gleichung (Gleichung 1) wobei . Ich versuche, einen Ausdruck für den risikofreien Zinssatz und einen Ausdruck für die Aktienprämie abzuleiten. Wie soll ich das machen?

$$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$$ $\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Aus dem zweiten Link oben geht hervor, dass ich zunächst die interessierenden Variablen wie ersetzen sollte: . Wenn ich dann den angegebenen Schritten folge, sollte ich zu (Gleichung 2) gelangen.$C_t = c e^{\tilde C_t}$

$$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$$

Aber wohin gehe ich von hier aus?

BEARBEITEN:

1. Ich habe Gleichung 1 direkt aus den Notizen kopiert, die ich habe. Es ist wahrscheinlich der Fall, dass der Ausdruck rechts in Klammern stehen sollte . Bei meinem ersten Versuch der Log-Linearisierung habe ich es so behandelt.$1 + R_{i,t+1}$$(1 + R_{i,t+1})$

2. In Gleichung 2 habe ich die Schritte in der Anweisung befolgt, die im zweiten Link am Anfang zu finden sind. Also, und ohne Zeit Indizes sind diese Werte im eingeschwungenen Zustand.$R_i$$R_m$

3. $R_m$ ist die Rendite des Marktportfolios und ist die Rendite des Vermögenswerts .$R_i$$i$

EDIT 2:

Danke für die nützlichen Kommentare. Nach dem, was ich bisher gesammelt habe, sollte ich so etwas bekommen:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$$

Dann würde dies bedeuten, dass der risikofreie Zinssatz wie folgt ermittelt wird:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$$

Ist das richtig? Und jetzt, um die Frage zu beantworten, wie würde ich die Eigenkapitalprämie finden?

Lassen Sie uns für den Moment die Existenz des erwarteten Wertes ignorieren. Wenn dies ein deterministischer Aufbau wäre, wäre die Linearisierung durch Protokollierung unkompliziert und ohne die Tricks der vom OP bereitgestellten Links. Wenn wir auf beiden Seiten der ersten Gleichung natürliche Protokolle nehmen, erhalten wir:

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$$

einstellen

$$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$$

Beachten Sie auch, dass es eine Standardnäherung ist, mindestens für zu schreiben . Normalerweise ist dies bei Wachstumsraten und Finanzraten der Fall, so dass wir erhalten$\ln (1+a) \approx a$$|a|<0.1$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$$

Dies ist eine klare dynamische Beziehung, die die drei vorhandenen Variablen verbindet. Wenn im Modell der stationäre Zustand durch konstanten Verbrauch und konstante Renditen gekennzeichnet ist, dann haben wir und somit ist die stationäre Beziehung$\hat c_{t+1} =0$

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$$

Aber wir haben all dies getan und den erwarteten Wert ignoriert. Unser Ausdruck ist , nicht nur . Geben Sie die Taylor-Erweiterung erster Ordnung von . Wir brauchen ein Expansionszentrum. Stellen Sie die vier Variablen einfach durch (es schadet nicht, dass eine Variable mit Index in ). Wir erweitern die Funktion um . Damit$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$$f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$$f()$$\mathbf z_{t+1}$$t$$\mathbf z_{t+1}$$E_t(\mathbf z_{t+1})$

$$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$$

Dann

$$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$$

Offensichtlich ist dies eine Annäherung, dh es liegt ein Fehler vor, auch wenn dies nur auf Jensens Ungleichung zurückzuführen ist. Aber es ist Standard. Dann sehen wir, dass alle vorherigen Arbeiten, die wir an der deterministischen Version durchgeführt haben, in der stochastischen Version angewendet werden können, indem bedingte Erwartungswerte anstelle der Variablen eingefügt werden. Also Gl. ist geschrieben$(3)$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$$

Aber wo sind die stationären Werte ? Nun, stationäre Werte in einem stochastischen Kontext sind etwas schwierig - argumentieren wir, dass unsere Variablen (die jetzt als Zufallsvariablen behandelt werden) zu Konstanten werden ? Oder gibt es eine andere Möglichkeit, einen stationären Zustand in einem stochastischen Kontext zu definieren?

Es gibt mehr als einen Weg. Einer davon ist der "perfekte vorausschauende stationäre Zustand", in dem wir einen nicht unbedingt konstanten Wert perfekt vorhersagen (dies ist das Konzept des "Gleichgewichts als erfüllte Erwartungen"). Dies wird zum Beispiel in Jordi Galis Buch verwendet, das in einem Kommentar erwähnt wird. "Perfekt vorausschauender stationärer Zustand" wird definiert durch

$$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$$

Nach diesem Konzept ist Gl. wird zu Gl. Dies ist nun die "perfekt vorausschauende stochastische stationäre Zustandsgleichung" der Wirtschaft.$(7)$$(3)$

Wenn wir eine stärkere Bedingung wollen, die besagt, dass Variablen im stationären Zustand konstant werden, dann ist es auch vernünftig zu argumentieren, dass ihre Prognose letztendlich perfekt sein wird. In diesem Fall ist der stationäre Zustand der stochastischen Wirtschaft der gleiche wie der der deterministischen Wirtschaft, dh Gl. .$(4)$

Die korrekte Näherung ist . Dies ist unvoreingenommen, wohingegen nicht ist. Um dies zu sehen, projizieren Sie auf , wobei der "Balken" den Erwartungsoperator darstellt. Dann approximiere Diese Annäherung ist genau, wenn normalverteilt ist (nach Steins Lemma).$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$$f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$

$$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$$ $x$

BEARBEITEN:

Zur Verdeutlichung sehen Sie, dass die Projektion von auf uns ergibt , wobei und . Wenn wir Steins Lemma verwenden, um wie oben beschrieben zu approximieren , bleibt das ist unvoreingenommen, Andererseits ist $f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$$f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$$E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$$\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$$\beta$

$$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$$ $$E[\epsilon] = 0.$$ $$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$$

Ihr Problem scheint eine Asset-Pricing-Gleichung mit rekursiven (Epstein-Zin) Präferenzen zu sein. Wenn man an Vermögenspreisen interessiert ist, muss man mit der üblichen "makroökonomischen" Linearisierung vorsichtig sein. Eine solche Annäherung ist sicherheitsäquivalent, was bedeutet, dass die Koeffizienten der linearisierten Lösung nicht von der Größe der Schocks abhängen. Darüber hinaus schwanken alle Variablen in linearisierter Lösung um ihre deterministischen stationären Zustände. Infolgedessen sind die Risikoprämien Null, was dem Punkt trotzt.

Eine Lösung besteht darin, Störungsmethoden höherer Ordnung zu verwenden (2. Ordnung, um konstante Risikoprämien zu erhalten, 3. Ordnung, um zeitlich variierende Prämien zu erhalten). Dies ist mit vorhandener Software (z. B. Dynare) einfach, wenn Sie das Modell ohnehin numerisch lösen möchten (in diesem Fall muss auch nicht manuell linearisiert werden). Wenn stattdessen eine analytische (ungefähre) Lösung bevorzugt wird, besteht die übliche Methode darin, die Dynamik der Mengen (z. B. das Verbrauchswachstum) zu linearisieren und dann die Vermögenspreise direkt aus der Euler-Gleichung zu erhalten, wobei die Erwartungen unter Verwendung der Lognormalitätsannahme berechnet werden, wie in Bansal & Yaron (2004) .

Wenn beispielsweise Kleinbuchstabenvariablen Protokolle sind, kann die übliche Euler-Gleichung wie folgt umgeschrieben werden

$$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$$

Wenn (bedingt) gemeinsam normal sind, impliziert das Obige$m_{t+1},r_{t+1}$

$$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$$

Der risikofreie Zinssatz muss erfüllen , oder$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

$$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$$

und so müssen wir haben

$$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$$

Um tatsächlich die Vermögenspreise zu berechnen, würde man dann

• Drücken Sie log-SDF als lineare Funktion einiger Zustandsvariablen und Schocks aus (z. B. logarithmisches Verbrauchswachstum im CRRA-Fall).

• Linearisieren Sie die Rendite in Bezug auf das logarithmische Dividenden-Preis-Verhältnis (Campbell-Shiller-Näherung) und ersetzen Sie diese durch (1).

• Drücken Sie das log D / P-Verhältnis in Zustandsvariablen als linear aus und verwenden Sie dann die Methode der unbestimmten Koeffizienten, um eine Lösung dafür zu erhalten, die (1) erfüllt.

In der Praxis ist es etwas komplizierter (insbesondere bei EZ-Präferenzen, wenn man den Ansatz zuerst verwenden muss, um die Marktrendite abzuleiten, die in SDF eingeht, und dann zum zweiten Mal für andere Renditen), aber weitere Details finden Sie z. B. im verknüpften Bansal & Yaron Papier.