Intertemporale Nutzenmaximierung

Angenommen, das Leben eines Wirtschaftsagenten ist in zwei Perioden unterteilt: Die erste Periode bildet seine Jugend und die zweite sein Alter. In beiden Zeiträumen ist ein einziges Verbrauchsgut C verfügbar. Die Utility-Funktion des Agenten ist gegeben durch

U (C_{1}, C_{2}) = \frac{C_{1}^{1 - θ} - 1}{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ} \frac{C_{2}^{1 - θ} - 1}{1 - θ}

$U(C_{1},C_{2}) = \frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }$

mit , und wobei der erste Term den Nutzen aus dem Verbrauch während der Jugend darstellt. Der zweite Term steht für den abgezinsten Nutzen aus dem Verbrauch im Alter, wobei der Abzinsungsfaktor ist. $0<θ < 1,ρ > 0$ $1/(1+ ρ )$

Während des Zeitraums hat die Agentin eine Arbeitseinheit, die sie unelastisch für einen Lohnsatz liefert . Einsparungen (dh Einkommen abzüglich Verbrauch in der ersten Periode) werden mit einem Zinssatz verzinst , dessen Erlös im Alter in Einheiten des einzigen in der Wirtschaft verfügbaren Verbrauchsgutes verfügbar ist. Einsparungen bezeichnen durch . Die Agentin maximiert die Nebenkosten entsprechend ihrer Budgetbeschränkung. $w$ $r$ $s$

Zeigen Sie, dass die Elastizität des Grenznutzens in Bezug auf den Verbrauch in jeder Periode darstellt. $i)$ $θ$

Notieren Sie das Optimierungsproblem der Agentin, dh das Problem der Maximierung des Nutzens, das der Budgetbeschränkung unterliegt. $ii)$

Finden Sie einen Ausdruck für s als Funktion von und . $iii)$ $w$ $r$

Wie ändert sich s als Reaktion auf eine Änderung von ? Zeigen Sie insbesondere, dass diese Änderung davon abhängt, ob die Einheit überschreitet oder unterschreitet. $(iv)$ $r$ $θ$

Geben Sie eine intuitive Erklärung für Ihren Befund in $(v)$ $(iv)$

Ich bin nicht in der Lage, dieses Problem zu lösen. Ich beweisen den ersten Teil . $i$

C_{2} = (w - C_{1}) (1 + r)

$C_{2}= (w-C_{1})(1+r)$

Also, Optimierungsproblem = $ii)$

\frac{C_{1}^{1 - θ} - 1}{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ} \frac{C_{2}^{1 - θ} - 1}{1 - θ} + λ (w - C_{1} - (w - C_{1}) (1 + r))

$\frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\lambda (w-C_{1}-(w-C_{1})(1+r))$

Wie drücken wir dieses int mit und ? $iii) s=w-C_{1}$ $w$ $r$

Jede Hilfe mit dieser Summe wird geschätzt.

microeconomics

— MAthsjunky
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Haben Sie versucht, das Optimierungsproblem zu lösen? Wenn ja, auf welche Schwierigkeiten sind Sie gestoßen?

— Giskard

Was Sie haben, ist im Grunde das Fisher-Problem der Zwei-Perioden-Optimierung. (Fischer)

Zu iii) Sie müssen zuerst die Euler-Gleichung finden, die Ihnen zeigt, wie Sie den Verbrauch in der ersten und zweiten Periode optimal gegeneinander abwägen können.

\frac{C_{1}^{1 - θ} - 1}{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ} \frac{C_{2}^{1 - θ} - 1}{1 - θ} + λ (w - C_{1} - \frac{C_{2}}{1 + r})

$\frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\lambda (w-C_{1}-\frac{C_{2}}{1+r})$

Sie finden die Euler-Gleichung, indem Sie die Zustände erster Ordnung beider Verbrauchsbedingungen ableiten und gleichsetzen.

\frac{1}{1 + r} C_{1}^{- θ} = \frac{1}{1 + ρ} C_{2}^{- θ}

$\frac{1}{1+r} C_{1}^{-\theta }= \frac{1}{1+\rho}C_{2}^{-\theta }$

$C_{1}$ $C_{2}=s(1+r)$ $s=w-C_{1}$

s = w - (1 + r)^{\frac{θ - 1}{θ}} (1 + ρ)^{\frac{1}{θ}} s s = \frac{w}{1 + (1 + r)^{\frac{θ - 1}{θ}} (1 + ρ)^{\frac{1}{θ}}}

$s=w-(1+r)^{\frac{\theta-1}{\theta}}(1+\rho)^{\frac{1}{\theta}}s \\ s=\frac{w}{1+(1+r)^{\frac{\theta-1}{\theta}}(1+\rho)^{\frac{1}{\theta}}}$

$r$

\frac{\partial s}{\partial r} = - \frac{(θ - 1) w (1 + ρ)^{1 / θ} (1 + r)^{1 / θ}}{θ {((ρ + 1)^{1 / θ} + r (ρ + 1)^{1 / θ} + (r + 1)^{1 / θ})}^{2}}

$\frac{\partial s}{\partial r}= -\frac{(\theta -1) w ( 1+\rho)^{1/\theta } (1+r)^{1/\theta }}{\theta \left((\rho +1)^{1/\theta }+r (\rho +1)^{1/\theta }+(r+1)^{1/\theta }\right)^2}$

$0<\theta<1$

$\theta>1$

— option_select
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