stochastische Dominanz zweiter Ordnung ohne den gleichen Mittelwert

Sei $F$ und $G$ zwei Verteilungen mit dem gleichen Mittelwert. $F$ soll zweiter Ordnung stochastisch dominate ( SOSD ) $G$ , wenn

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$ für alle steigenden und konkaven

u (\cdot)

$u(\cdot)$ .

Diese obige Definition ist äquivalent zu

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Mir wurde gesagt, dass die Anforderung, dass $F$ und $G$ den gleichen Mittelwert haben müssen, nicht wirklich notwendig ist. Angenommen, $F$ und $G$ haben nicht den gleichen Mittelwert. Können wir dann noch die Äquivalenz zwischen $(1)$ und $(2)$ ?

NB Ich konnte $(2)\Rightarrow (1)$ ohne die gleiche mittlere Bedingung zeigen, aber nicht umgekehrt.

microeconomics probability

— Herr K.
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$u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

$F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
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