Auf der Vignette von Frau Exponential gegen Frau Hyperbolic

Ich bin auf dieses kleine Gleichnis gestoßen, das angeblich zeigt, warum exponentielles Diskontieren dem hyperbolischen Diskontieren überlegen ist ¹ :

Die stärkere Verbeugung [der hyperbolischen Abzinsungskurve] bedeutet, dass eine hyperbolische Discounterin, die mit jemandem Handel treibt, der eine exponentielle Kurve verwendet, bald von ihrem Geld entlastet wird. Frau Exponential könnte beispielsweise den Wintermantel von Frau Hyperbolic jeden Frühling billig kaufen, weil die Entfernung zum nächsten Winter die Bewertung von Frau H. mehr als die von Frau E beeinträchtigen würde. Frau E konnte dann den Mantel jeden Herbst an Frau H zurückverkaufen, wenn der Winter sie Frau Hs Bewertung in einen hohen Anstieg versetzte.

Die Abbildung, auf die sich der Auszug bezieht, ähnelt in etwa der unten gezeigten. Der bemerkenswerteste Unterschied besteht darin, dass ich die Legende hinzugefügt habe, um anzugeben, welche Kurve welche ^{2 ist} , zusammen mit der analytischen Form der tatsächlich verwendeten Rabattfunktionen ³ .

Aber es scheint mir, dass das Argument, wie oben dargestellt, falsch ist. Es ist klar, dass die Bewertung von der Zeit abhängt. Daher würde genau das gleiche Argument mit vertauschten Rollen von Frau E und Frau H für jeden Zeitpunkt zwischen dem Schnittpunkt der Kurven und der vertikalen Achse funktionieren.

Tatsächlich ist für bestimmte Koeffizientenwahlen für die hyperbolischen und exponentiellen Kurven die Exponentialkurve für alle Zeitpunkte stärker niedergedrückt als die hyperbolische . Zum Beispiel:

Es stellt sich heraus, dass die grüne Exponentialkurve oben die hyperbolische Kurve bei nur einem Wert von schneidet , nämlich (dh zu dem durch die vertikale Achse angegebenen Zeitpunkt). Für alle liegt die grüne Exponentialkurve streng unter der hyperbolischen.$t$$t = 0$$t < 0$

Dies bedeutet, dass, wenn die exponentielle Abzinsungskurve von Frau E die grüne wäre, Frau H. sie durch Anwendung der im Auszug beschriebenen Strategie schnell verärgern könnte, und dies unabhängig von der Länge des Zeitintervalls zwischen der Kauf und der Rückverkauf des Wintermantels .

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Argument des Auszugs für die Überlegenheit der exponentiellen Diskontierung gegenüber der hyperbolischen Diskontierung meiner Meinung nach kein Wasser enthält.

Jetzt ist mir klar, dass der Auszug nicht besonders streng ist und dass es möglicherweise einen überzeugenderen Weg gibt, die Überlegenheit der exponentiellen Diskontierung gegenüber der hyperbolischen Diskontierung zu demonstrieren. Wenn ja, was ist das? Insbesondere möchte ich Folgendes wissen:

Wie kann jemand, der exponentielle Diskontierung verwendet, einseitig einen finanziellen Vorteil gegenüber jemandem nutzen, der hyperbolische Diskontierung verwendet?

(Mit einseitig meine ich, dass die Strategie nur für jemanden verfügbar ist, der exponentielle Diskontierung gegenüber jemandem verwendet, der hyperbolische Diskontierung verwendet, und nicht umgekehrt.)

^{1 Ich beziehe mich für diese Passage auf Breakdown of Will (2001) von George Ainslie (S. 30-31). Ich habe das Buch allerdings nicht.}

^{2 Ich habe die Bezeichnungen "hyperbolisch" und "exponentiell" hinzugefügt, entsprechend meiner Interpretation dessen, was der Autor unter "größerer Verbeugung" versteht. Ich bin kein englischer Muttersprachler. Bitte korrigieren Sie mich, wenn diese Interpretation rückwärts ist.}

^{3 Beachten Sie, dass alle diese Funktionen als Domänen haben. Diese Auswahl war erforderlich, um dem Erscheinungsbild der ursprünglichen Kurven zu entsprechen. Außerdem sollte ich betonen, dass die Funktionsformen, die ich für alle diese Kurven verwendet habe, meine sind eigene, so gewählt, dass sie dem Erscheinungsbild der ursprünglichen Kurven nahekommt. Der Text des Auszugs gibt nicht die funktionale Form der abgebildeten Kurven an.$(-\infty, 0]$}

Ich glaube, die Geldpumpe funktioniert so:

Bei leihen Sie sich für den gesamten Zeitraum hundert Dollar von Henry, dem hyperbolischen Discounter . Der Zinssatz sollte Null sein, da der Abzinsungssatz für Kredite dieses Zeitraums beträgt . Machen Sie es der Einfachheit halber zu einem Nullkupon-Darlehen, dessen Zahlung bei Fälligkeit fällig ist, und gehen Sie davon aus, dass Sie beide der Meinung sind, dass kein Kreditrisiko besteht. Gehen Sie nun eine Periode vorwärts zu . Angebot, den Kredit an Henry zurückzuverkaufen. Sein Abzinsungssatz ist jetzt sodass der Zinssatz niedriger ist als der, den er für ein neues Darlehen berechnen würde, sodass der Preis über dem Nennwert liegen muss. Nennen Sie den Preis . Machen Sie den Verkauf, zerreißen Sie den Kredit und stecken Sie$T=0$$t$$1$$T=\epsilon$$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$$100 + \psi_1$$\psi_1$. Bitten Sie um ein neues Darlehen von hundert Dollar, wieder zum Nullkupon, jetzt zum Zinssatz pro Periode. Schritt vorwärts eine weitere Periode auf . Wieder sodass Sie diese Verpflichtung auch für mehr als Par ( ) verkaufen können . Machen Sie den Verkauf, zerreißen Sie den Kredit und stecken Sie . Spülen, einschäumen und wiederholen, bis sie nicht mehr hundert Dollar haben, um Sie zu leihen.$\frac{1}{1-\epsilon}$$T = 2 \epsilon$$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$$1 + \psi_2$$\psi_2$

Update: Hoffentlich ist dies ein einfacheres Beispiel. Was Sie tun, ist in jeder Periode T (T 2) Periode eine Anleihe von Henry the Hyperbolic Discounter zu kaufen . Sie verkaufen auch die Anleihe, die Sie in der Vorperiode gekauft haben, an Henry zurück. Sie sind dazu bereit, solange der Zeitraum so kurz ist, dass der Gewinn aus der Transaktion hoch genug ist, um Ihren eigenen Abzinsungssatz auszugleichen.$\geq$

Betrachten Sie eine 2-jährige Anleihe mit den oben genannten Präferenzen. Der 2-Jahres-Abzinsungssatz beträgt und ist damit niedriger als der 1-Jahres-Abzinsungssatz . Eddy, der exponentielle Discounter, ist bereit, Henry das Geld zu leihen, da die Gewinne aus diesem Kredit hoch genug sind, um ihn zu entschädigen, obwohl seine Zeitpräferenz für 1- und 2-Jahres-Kredite höher ist als die von Henry.$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$