Rosens diagonale, strenge Konkavität

Stellen Sie sich ein Spiel mit $ n $ Spielern vor, mit dem Strategieraum $ S \ subset \ mathbb {R} $, in dem $ S $ festgelegt ist, und der $ i $ -Auszahlungsfunktion des Spielers $ \ pi_i: S ^ n \ rightarrow \ mathbb { R} $. Rosens Zustand ( J. B. Rosen. Existenz und Eindeutigkeit von Gleichgewichtspunkten für konkave N-Personenspiele. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) Für die Einzigartigkeit des Nash Equilibrium in einem n Spieler-Spiel heißt es, dass das Gleichgewicht einmalig sein wird, wenn

1. Auszahlungsfunktion $ \ pi_i (\ textbf {s}) \; i \ in N $ ist in eigener Strategie konkav
2. Es gibt den Vektor $ \ textbf {z} $ ($ (\ forall i \ in N) (z_i \ geq 0) \ \ wedge (\ existiert i \ in N) (z_i & gt; 0) $, so dass $ \ sigma funktioniert (\ mathbf {s}, \ mathbf {z}) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} z_i \ pi_i ({\ textbf {s}}) $ ist diagonal streng konkav

$ N $ bezeichnet die Gruppe von Spielern.

Um das Konzept der diagonalen strengen Konkavität zu definieren, führen Sie zunächst den 'Pseudogradienten' der Funktion $ \ sigma $ ein, definiert mit: \ begin {align} g (\ mathbf {s}, \ mathbf {z}) = \ begin {pmatrix} z_1 \ frac {\ partial \ pi_1 (\ mathbf {s})} {\ partial s_1} \\ z_2 \ frac {\ partial \ pi_2 (\ mathbf {s})} {\ partial s_2} \\ ... \\ z_n \ frac {\ partial \ pi_n (\ mathbf {s})} {\ partial s_n}% \ end {pmatrix} \ end {align} Dann soll die Funktion $ \ sigma $ lauten diagonal streng dominant in $ \ mathbf {s} \ in S $ für festes $ \ mathbf {z} \ geq 0 $ wenn für jeden $ \ mathbf {s} ^ 0, \ mathbf {s} ^ 1 \ in S $ gilt: \ begin {align} (\ mathbf {s} ^ 1 - \ mathbf {s} ^ 0) 'g (\ mathbf {s} ^ {0}, \ mathbf {z}) + (\ mathbf {s} ^ 0 - \ mathbf {s.) } ^ 1) 'g (\ mathbf {s} ^ {1}, \ mathbf {z}) & gt; 0 \ end {align}

In dem eingangs zitierten Aufsatz wird gezeigt, dass $ \ sigma $ als hinreichende Bedingung für eine diagonal streng konkave Form die Matrix $ \ left [G (\ mathbf {x}, \ mathbf {z}) + G ist (\ mathbf {x}, \ mathbf {z}) '\ right] $ ist ein negatives Defizit für $ \ mathbf {s} \ in S $, wobei $ G (\ mathbf {x}, \ mathbf {z}) $ ist Jacobian von pseudogradient $ g $ in Bezug auf $ \ mathbf {s} $. Ich benutze ', um die Transponierung einer Matrix zu bezeichnen. Was ist die Intuition hinter der diagonalen Konkavitätsbedingung?

Sie möchten also maximal $ \ sigma (s, z) $ finden. Wenn $ \ sigma $ diagonal streng konkav ist, können Sie dies tun, indem Sie an einem beliebigen Punkt beginnen und einfach dem Gradienten $ g (s, z) $ folgen, bis Sie das Maximum finden, und unabhängig davon, wo Sie beginnen, werden Sie immer am enden gleicher Punkt (Beginnen Sie an den unteren schwarzen Punkten und folgen Sie der Richtung des Gefälles (der Richtung des steilsten Aufstiegs).)

Wenn $ \ sigma $ jedoch nicht diagonal streng konkav ist, können Sie an einem beliebigen Punkt mit unterschiedlichen Maxima enden und dem Gefälle folgen (Folgen Sie der Richtung des steilsten Aufstiegs ab den beiden unteren schwarzen Punkten; Sie werden landen an zwei verschiedenen Punkten.).