Quasilinearer Nutzen: Pareto-Optimalität impliziert vollständige Nutzenmaximierung?

Ich habe gelesen, dass, wenn wir für alle Verbraucher einen quasilinearen Nutzen haben, jede paretooptimale Zuordnung die Summe der Nutzen aller Verbraucher maximiert. Das ist:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Kann jemand einen Beweis dafür liefern? Jede Hilfe wäre sehr dankbar!

$\textbf{Edit:}\,$ ich weiß nicht, ob dies der richtige Weg ist, aber durch die streng zunehmende Eigenschaft von erfüllen Präferenzen die lokale Nicht-Sättigung, was impliziert, dass sie den ersten Wohlfahrtssatz erfüllen. Wenn ich nun herausfinden könnte, ob alle paretooptimalen Zuweisungen Wettbewerbsgleichgewichte mit quasilinearem Nutzen sind, könnte ich etwas unternehmen! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof

— DornerA
quelle

Sind Sie sicher, dass unter dasselbe ist wie unter ? Eine Budget- / Ressourcenbeschränkung scheint zu fehlen. Und damit sollten Sie in der Lage sein, das zu bekommen, was Sie wollen, indem Sie die Ungleichungen in (3) über summieren .

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— Herr K.

@HerrK. Das ist ein ausgezeichneter Punkt und ein ziemlich peinlicher Fehler von mir, das werde ich ändern

— DornerA

Gibt es Eigenschaften für die Funktion von X? Wenn es beispielsweise streng ansteigt, aber konkav ist, sollte die PO-Zuweisung, bei der ein Agent die Gesamtausstattung übernimmt, weniger Gesamtnutzen ergeben, als wenn diese Zuordnung gleichmäßig auf zwei Agenten aufgeteilt wird.

— 123

@ 123 Es gibt keine anderen Annahmen über als die oben leider aufgeführten

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

Antworten:

Bearbeiten: Rand Fälle saugen; Zeige Kommentare. Siehe auch MWG Kapitel 10 Abschnitt C, D.

Angenommen, löst $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

ist aber nicht Pareto optimal.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

Das ist ein Widerspruch. Wenn wir eine Lösung für das Problem der Nutzenmaximierung haben, muss diese paretooptimal sein.

(Beachten Sie, dass dies auf kontinuierliche und zunehmende Eigenschaften von ) $\phi(\cdot)$

Angenommen, ist eine mögliche paretooptimale Zuordnung, löst sich jedoch nicht $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Da wir als Numeraire behandeln und streng zunimmt, wissen wir, dass lokal nicht gesättigt ist. Die Pareto-Zuweisung sollte nur machbar sein. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Wenn dies wahr ist, weil diese alternative Zuordnung einem Individuum einfach mehr von gibt, wenn alle anderen gleich sind, dann ist die alternative Zuordnung nicht durchführbar. Wir hätten also einen Widerspruch. $x$

Wenn dies zutrifft, weil bei der alternativen Zuordnung einer anderen Person mehr zugewiesen wird und nur einer anderen Person weniger zugewiesen wird, ist die ursprüngliche Zuordnung nicht paretooptimal. Angenommen, es war. Wenn Sie die ursprüngliche Zuordnung nehmen und in Richtung der neuen Zuordnung verschieben würden, würden Sie einen entsprechenden Handel mit dem numerären Gut benötigen , um zu verhindern, dass derjenige, der verliert, mindestens auf dem gleichen Nutzenniveau liegt. Aber Trades nur mit dem Numeraire-Gut können niemals den summierten Gesamtnutzen ändern . Aus der ursprünglichen Zuordnung, wenn Sie gegen tauschen können $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ und machen Sie jemanden besser dran, ohne jemanden zu verletzen, Sie waren nicht an einem Pareto-Optimum, und wenn Sie gegen , um jemanden besser zu machen, können Sie den summierten Gesamtnutzen nicht erhöhen, was bedeutet, dass die ursprüngliche Zuordnung a war Lösung des Maximierungsproblems. $m$ $x$

Diese Logik gilt unabhängig davon, wie Sie zwischen mehreren Personen neu anordnen . $x$

$\square$

— Kitsune Kavallerie
quelle

Ich sehe, dass das OP diese Antwort akzeptiert hat, aber dies beweist nicht seinen tatsächlichen Vorschlag. OP behauptet, dass jede PO-Zuordnung das gegebene Maximierungsproblem löst. Dieser Beweis zeigt, dass eine Lösung für das Maximierungsproblem PO ist. Dieses Ergebnis folgt jedoch unmittelbar aus der Tatsache, dass die Utility-Funktion deutlich macht, dass Präferenzen die lokale Nicht-Sättigung erfüllen. Und wir wissen, dass es nicht unbedingt eine Bijektion zwischen CE- und PO-Punkten gibt. Der ursprüngliche Satz ist wahrscheinlich falsch, abhängig von den Einschränkungen, die für die Funktion von X gelten. (Verwenden des Telefons so schwer, LaTex zu verwenden - sorry.)

— 123

Ich denke nicht, dass der Vorschlag in normalen reinen Exchange Economy-Umgebungen zutrifft. Hier ist das Gegenbeispiel: Economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— Amit

@Amit ich denke du hast recht. Die Aussage scheint jedoch mit der zusätzlichen Bedingung zu gelten, dass die PO-Zuordnung ist, dass für alle Verbraucher : . Oder alternativ, wenn das Problem negative Werte für zulässt . In diesem Fall wäre Ihr Gegenbeispiel nicht PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard

@KitsuneCavalry Hier liegt der Fehler: "Wenn Sie aus der ursprünglichen Zuordnung gegen tauschen und jemanden besser machen können, ohne jemanden zu verletzen, waren Sie nicht an einem Pareto-Optimum, und wenn Sie gegen tauschen können Wenn es jemandem besser geht, können Sie den summierten Gesamtnutzen nicht erhöhen ... "oder Sie können den Handel nicht abschließen, da dies eine Nicht-Negativitätsbeschränkung verletzen würde. Boo, Betrüger! : D Geben Sie die 50 Punkte zurück: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp Ich stimme zu, dass das Ergebnis gilt, wenn wir entweder zulassen, dass eine reelle Zahl oder nur eine streng positive reelle Zahl für alle .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Amit

Ich denke nicht, dass es in einer normalen reinen Devisenwirtschaft wahr ist, auf die sich die Frage bezieht. Betrachten Sie das folgende Gegenbeispiel: Angenommen

$I = \{1,2\}$ und und . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

und lassen Sie die Menge der möglichen Zuweisungen sein

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Beachten Sie, dass die Zuordnung paretoeffizient ist, aber die Summe der Dienstprogramme nicht maximiert. Der Grund ist, dass die Zuordnung die höhere Summe ergibt. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

— Amit
quelle

@DornerA deine Gedanken dazu?

— Giskard

Ich glaube, Sie beziehen sich auf das folgende Ergebnis: Jede PE-Zuordnung maximiert , aber es ist schwer genau zu wissen, da Sie nicht spezifisch sind Durchführbarkeit. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Lassen Sie mich genauer sein. Für jedes , . Eine Zuordnung ist . Die Menge der möglichen Zuordnungen ist . Der Nutzen von von ist , wobei nimmt streng zu. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

Die Definition der PE-Zuordnung ist Standard: ist PE, wenn so dass für alle und für einige . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Nun beanspruche ich , dass , wenn PE ist dann ist eine Lösung für , oder, making die Maximierung in Bezug auf s explizit, st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Ich werde die Behauptung hier nicht beweisen, aber die Schlüsselidee ist einfach und lautet wie folgt. Angenommen, ist PE, löst aber das Maximierungsproblem nicht. Dann können wir ein anderes machbares so dass . Zwar geht es in im Vergleich zu schlechteren Agenten, aber wir können Geld verwenden, s, um sie genauso gut zu machen wie unter , und trotzdem übrig bleiben mit etwas Geld, da wir die Summe der von s kommenden Nutzen erhöht haben . $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Ein anderer Weg , dies zu sagen ist , dass die Summe der Nützlichkeit von ist . Bei jeder nicht verschwenderischen Zuordnung ist der erste Term identisch. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Eine weitere Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, dass s die Größe des Kuchens bestimmen und s die Umverteilung bestimmen. Durch Quasi-Linearität bleibt unverändert, wenn um eine Einheit verringert und um eine Einheit erhöht wird. Dies gilt nicht für und . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Dies impliziert auch, dass jedes , das das Maximierungsproblem löst, PE ist. $a\in F$

— Jan.
quelle

Hast du die beiden anderen Antworten gelesen? Man sagt im Grunde das gleiche. Das andere liefert ein Gegenbeispiel.

— Giskard

@denesp Ja, ich habe die Antworten gelesen und sage etwas anderes. Die beiden Antworten sprechen von der Maximierung der Summe der Dienstprogramme, ich spreche von der Maximierung der Summe aus den s. Im Gegenbeispiel ist die kritische Annahme, dass . Wenn für gilt, gilt das, was ich sage. Welche Annahme "Standard" ist, ist fraglich. Ich bin von MWG erzogen worden.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

Ein weiterer Kommentar, Mas-Colell, Whinston, Green, Kapitel 10, insbesondere Teile C und insbesondere Teil D, sind eine gute Lehrbuchbehandlung des Themas, nach dem OP fragt.

— Jan